2011-山东卷文-18 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及列举法求基本事件数。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 甲、乙两校各有 $3$ 名教师报名支教，其中甲校 $2$ 男 $1$ 女，乙校 $1$ 男 $2$ 女.

(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 $1$ 名，写出所有可能的结果，并求选出的 $2$ 名教师性别相同的概率；

(2) 若从报名的 $6$ 名教师中任选 $2$ 名，写出所有可能的结果，并求选出的 $2$ 名教师来自同一学校的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 两校各选一人共 $3\times 3=9$ 种
2. 步骤2：性别相同 $4$ 种
3. 步骤3：(2) 从 $6$ 人选 $2$ 人共 $15$ 种
4. 步骤4：同校 ${\mathrm{C}}_3^2+{\mathrm{C}}_3^2=6$ 种

✅【答案】

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(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

记甲校男教师 $A_1,A_2$、女教师 $A_3$；乙校男教师 $B_1$、女教师 $B_2,B_3$。

(1) 各选 $1$ 名，结果记为 $(A_i,B_j)$：

$(A_1,B_1)$，$(A_1,B_2)$，$(A_1,B_3)$，$(A_2,B_1)$，$(A_2,B_2)$，$(A_2,B_3)$，$(A_3,B_1)$，$(A_3,B_2)$，$(A_3,B_3)$，共 $3\times 3=9$ 个等可能结果。

性别相同的有 $(A_1,B_1)$，$(A_2,B_1)$（男男），$(A_3,B_2)$，$(A_3,B_3)$（女女），共 $4$ 个。故 $P_1=\frac{4}{9}$。

(2) 从 $6$ 人中选 $2$ 人，共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 个等可能结果。

来自同一学校：甲校内部 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 个，乙校内部 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 个，共 $6$ 个。故 $P_2=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的基本事件列举；组合计数

核心方法：(1) 有序对计数（分步乘法）；(2) 无序组合计数（${\mathrm{C}}_6^2$），同校事件按”甲内部 + 乙内部”分类

避坑指南：(1) 的结果是有序对、(2) 是无序组合，样本空间结构不同，不要把 $9$ 与 $15$ 混用；“来自同一学校”不含跨校组合，只数两校各自的内部组合。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型题与 2011-天津卷文-15、2012-山东卷文-18、2012-安徽卷文-10 同族。

结论推广：推广：两校男女数分别为 $(m_1,f_1)$、$(m_2,f_2)$ 时，(1) 型概率为 $\frac{m_1{m}_2+f_1{f}_2}{(m_1+f_1)(m_2+f_2)}$；(2) 型为 $\frac{{\mathrm{C}}_{m_1+f_1}^2+{\mathrm{C}}_{m_2+f_2}^2}{{\mathrm{C}}_{m_1+f_1+m_2+f_2}^2}$。

方法推广：古典概型：先定样本空间（有序还是无序），再分类数 favorable；数完用 $\frac{\text{ favorable}}{\text{ total }}$ 即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型
• 2012-山东卷文-18 解-古典概型分类计数
• 2012-安徽卷文-10 单-古典概型摸球