2009-安徽卷理-14 填-排列组合

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、向量的线性组合与最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 给定两个长度为 1 的平面向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为 $120^{\circ }$. 如图所示，点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆弧 $\widehat{AB}$ 上变动. 若 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中 $x,y\in \mathbf{R}$，则 $x+y$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由题意明确已知量： $|\overrightarrow{OA}|=1,|\overrightarrow{OB}|=1,⟨\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}⟩=120^{\circ }$。由于点 $C$ 在圆弧上，故 $|\overrightarrow{OC}|=1$。
2. 将已知等式 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 两边进行平方展开，代入模长和夹角，建立关于 $x,y$ 的二次代数方程。
3. 利用基本不等式将未知项 $xy$ 用 $(x+y{)}^2$ 进行合理替换放缩，从而锁定 $x+y$ 的取值上界。

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2

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 是长度为 1 的平面向量，且它们的夹角为 $120^{\circ }$， 所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cdot \cos 120^{\circ }=1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$。 由于点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的单位圆弧 $\widehat{AB}$ 上变动，所以 $|\overrightarrow{OC}|=1⟹|\overrightarrow{OC}{|}^2=1$。 将已知向量线性关系式 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 两边平方得： $|\overrightarrow{OC}{|}^2=x^2|\overrightarrow{OA}{|}^2+2xy\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+y^2|\overrightarrow{OB}{|}^2$ 代入已知数据化简： $1=x^2+2xy\left(-\frac{1}{2}\right)+y^2⟹x^2-xy+y^2=1$ 为了求出 $x+y$ 的最大值，我们将上式配方凑出整体结构： $(x+y{)}^2-3xy=1⟹(x+y{)}^2=1+3xy$ 根据基本不等式，恒有 $xy⩽\frac{(x+y{)}^2}{4}$，代入上式得： $(x+y{)}^2⩽1+3\times \frac{(x+y{)}^2}{4}$ $(x+y{)}^2⩽1+\frac{3}{4}(x+y{)}^2⟹\frac{1}{4}(x+y{)}^2⩽1⟹(x+y{)}^2⩽4$ 由于点 $C$ 在圆弧 $\widehat{AB}$ 上，向量位于 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 之间，显然系数 $x⩾0,y⩾0⟹x+y\ge 0$。 所以解得： $x+y⩽2$。 当且仅当 $x=y=1$ 时（此时点 $C$ 位于圆弧 $\widehat{AB}$ 的中点处），等号完全成立。 故 $x+y$ 的最大值是 2。

填空答案：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量建系或求平方的基本功；利用代数多项式结构完成范围最值转化。
2. 核心方法：两边平方整体法。
3. 避坑指南：部分学生容易由于点 $C$ 在“圆弧”上而产生畏难情绪，去套用复杂的三角函数表示。事实上，直接利用向量模长恒等于 1 的全域平方性质，化归为代数方程，解决起来最为利落。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中平面向量数量积的应用性质，属于利用向量解决平面几何图形动点轨迹最值的经典衍生题。
2. 结论推广：若 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且两向量夹角为 $\alpha$，动点 $C$ 在圆弧 $\widehat{AB}$ 上满足 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则 $x+y$ 的最大值恒为 $\frac{1}{\cos \frac{\alpha }{2}}$。本题代入 $\alpha =120^{\circ }$，最大值为 $\frac{1}{\cos 60^{\circ }}=2$，可用作秒杀公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心