2009-安徽卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查空间直角坐标系与向量运算、二面角的平面角及其求法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 如图，四棱锥 $F-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是菱形，其对角线 $AC=2,BD=\sqrt{2}$， $AE$、 $CF$ 都与平面 $ABCD$ 垂直， $AE=1,CF=2$.

(1) 求二面角 $B-AF-D$ 的大小；

(2) 求四棱锥 $E-ABCD$ 与四棱锥 $F-ABCD$ 公共部分的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由于底面 $ABCD$ 为菱形，对角线 $AC\perp BD$。以对角线交点 $O$ 为原点， $AC,BD$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴，平行于 $AE$ 的直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。求出平面 $ABF$ 与平面 $ADF$ 的法向量，利用数量积求出二面角大小。
2. 第二问：分析两四棱锥表面在空间中的交线。由于 $AE$ 和 $CF$ 所在的平面即为 $xOz$ 平面，线段 $EC$ 与 $FA$ 的交点 $M$ 的高即为公共部分几何体的顶点。通过对称性可知，公共部分本质上是以 $ABCD$ 为底面、 $M$ 为顶点的新四棱锥 $M-ABCD$，求出 $M$ 的 $z$ 坐标（高度）即可直接计算体积。

✅【答案】

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所以点𝐻到平面𝐴𝐵𝐶𝐷的距离为23

✍【详细解析】

Abstract

解：设菱形对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，则 $AC\perp BD$。 以 $O$ 为原点， $OC$ 所在直线为 $x$ 轴， $OB$ 所在直线为 $y$ 轴，过 $O$ 且平行于 $CF$ 的直线为 $z$ 轴建立平面空间直角坐标系 $O-xyz$。 由 $AC=2,BD=\sqrt{2}$，可得 $OA=OC=1,OB=OD=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 则各相关点的坐标为： $O(0,0,0),A(-1,0,0),C(1,0,0),B\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),D\left(0,-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$ $E(-1,0,1),F(1,0,2)$

(1) 易得： $\overrightarrow{AB}=\left(1,\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$， $\overrightarrow{AF}=(2,0,2)$， $\overrightarrow{AD}=\left(1,-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。 设平面 $ABF$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AF}=2x_1+2z_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AB}=x_1+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_1=0\end{array}⟹\text{取 }{x}_1=1,\text{ 得 }{\vec{n}}_1=(1,-\sqrt{2},-1)$ 设平面 $ADF$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AF}=2x_2+2z_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AD}=x_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2=0\end{array}⟹\text{取 }{x}_2=1,\text{ 得 }{\vec{n}}_2=(1,\sqrt{2},-1)$ 计算两个法向量的内积： ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=1\times 1+(-\sqrt{2})\times \sqrt{2}+(-1)\times (-1)=1-2+1=0$ 因为 ${\vec{n}}_1\perp {\vec{n}}_2$，所以两平面互相垂直。 故二面角 $B-AF-D$ 的大小为 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

(2) 在 $xOz$ 平面内，线段 $EC$ 连接的是 $E(-1,0,1)$ 与 $C(1,0,0)$，其直线方程为 $z=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$； 线段 $FA$ 连接的是 $F(1,0,2)$ 与 $A(-1,0,0)$，其直线方程为 $z=x+1$。 联立两方程求其交点 $M$： $x+1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}⟹\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}⟹x=-\frac{1}{3}$ 代入得 $z=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，即 $M\left(-\frac{1}{3},0,\frac{2}{3}\right)$。 根据空间侧面交线的几何特征，四棱锥 $E-ABCD$ 纵向受限于面 $EBC$ 与 $EDC$，四棱锥 $F-ABCD$ 纵向受限于面 $FAB$ 与 $FAD$。 两几何体的公共部分恰好是以菱形 $ABCD$ 为底面，点 $M$ 为顶点的四棱锥 $M-ABCD$。 其底面菱形 $ABCD$ 的面积为： $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\times AC\times BD=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$ 四棱锥 $M-ABCD$ 的高 $h$ 即为点 $M$ 的纵坐标 $z=\frac{2}{3}$。 故公共部分的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times h=\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量直角坐标系的建立与法向量求解；二面角正交判定；组合多面体截面体积的化归。
2. 核心方法：

• 坐标建系法（利用对角线垂直天然构建 $x,y$ 轴）。
• 轴截面投影法（将复杂的空间体积交集压缩到对角线 $xOz$ 平面内通过一元一次方程求解临界高）。

3. 避坑指南：第二问切忌尝试采用复杂的空间多面体分割或直接用大锥体减小锥体，通过交线分析识别出公共部分是一个规则的四棱锥 $M-ABCD$ 是最简捷的解题路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中空间几何体表面交线以及多面体体积计算的经典延伸问题。
2. 结论推广：若两侧棱柱或棱锥的高所在的平行平面相交，其相交公共体的顶点在截面内的投影，恒满足两条特征对角斜线段的代数交点方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角