2009-安徽卷理-20 解-等比数列

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与切线特征、直线垂直的斜率关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上， $x_0=a\cos \beta ,y_0=b\sin \beta ,0<\beta <\frac{\pi }{2}$. 直线 $l_2$ 与直线 $l_1:\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$ 垂直， $O$ 为坐标原点，直线 $OP$ 的倾斜角为 $\alpha$，直线 $l_2$ 的倾斜角为 $\gamma$.

(1) 证明：点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与直线 $l_1$ 的唯一交点；

(2) 证明： $\tan \alpha ,\tan \beta ,\tan \gamma$ 构成等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：将直线 $l_1$ 方程与椭圆方程联立消元，代入 $y_0^2=b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right)$，整理得到完全平方式，证明其有且仅有唯一实数解。
2. 第二问：利用坐标分别表示出 $\tan \alpha$ 和 $\tan \gamma$ 关于 $\beta$ 的代数式，通过乘积运算证明 $\tan \alpha \cdot \tan \gamma ={\tan }^2\beta$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

证明：

(1) 由题意知 $y_0=b\sin \beta \ne 0$。由直线 $l_1$ 方程可得 $y=\frac{b^2}{y_0}\left(1-\frac{x_0}{a^2}x\right)$。 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中整理得： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2}{y_0^2}\left(1-\frac{2x_0}{a^2}x+\frac{x_0^2}{a^4}{x}^2\right)=1$ 两边同乘 $a^2{y}_0^2$ 并移项整理： $\left(y_0^2+\frac{b^2{x}_0^2}{a^2}\right)x^2-2b^2{x}_{0}x+a^2{b}^2-a^2{y}_0^2=0$ 由于点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上，满足 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1⟹y_0^2+\frac{b^2{x}_0^2}{a^2}=b^2$ 且 $a^2{b}^2-a^2{y}_0^2=b^2{x}_0^2$。 代入系数简化方程为： $b^2{x}^2-2b^2{x}_{0}x+b^2{x}_0^2=0⟹b^2(x-x_0{)}^2=0$ 因为 $b>0$，方程有且仅有唯一解 $x=x_0$。此时对应的 $y=y_0$。 所以点 $P$ 是椭圆与直线 $l_1$ 的唯一交点。

(2) 由题意，直线 $OP$ 的斜率为 $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{b\sin \beta }{a\cos \beta }=\frac{b}{a}\tan \beta$。 直线 $l_1$ 的斜率为 $k_1=-\frac{x_0/a^2}{y_0/b^2}=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}=-\frac{b^2\cdot a\cos \beta }{a^2\cdot b\sin \beta }=-\frac{b}{a\tan \beta }$。 因为直线 $l_2\perp l_1$，所以直线 $l_2$ 的斜率为： $\tan \gamma =-\frac{1}{k_1}=\frac{a\tan \beta }{b}$ 计算 $\tan \alpha$ 与 $\tan \gamma$ 的乘积： $\tan \alpha \cdot \tan \gamma =\left(\frac{b}{a}\tan \beta \right)\cdot \left(\frac{a}{b}\tan \beta \right)={\tan }^2\beta$ 由于 $0<\beta <\frac{\pi }{2}$，故 $\tan \alpha >0,\tan \beta >0,\tan \gamma >0$。 因此 $\tan \alpha ,\tan \beta ,\tan \gamma$ 构成等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线标准方程与联立消元法；两直线垂直的斜率关系 $k_1{k}_2=-1$；等比中项的判定。
2. 核心方法：整体代换消元法。
3. 避坑指南：第一问联立高次项时，应及时使用点在椭圆上的方程关系 $b^2{x}_0^2+a^2{y}_0^2=a^2{b}^2$ 进行系数化简，避免强行展开导致公式冗长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自椭圆在参数方程下的切线斜率几何性质（直线 $l_1$ 即为椭圆在点 $P$ 处的切线方程形式）。
2. 结论推广：对于任意椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其任意一点处的切线与过该点的径向线及法线的斜率，在适当的倾斜角变换下均蕴含着优优美的等比或等差数列规律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
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