2009-安徽卷理-21 解-数列

本题导读

本题考查数学归纳法、数列的递推关系与单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)）首项为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} (a_{n}^{2} + 3), n \in N_{+}$ .

(1) 证明：若 $a_{1}$ 为奇数，则对一切 $n ⩾ 2$ , $a_{n}$ 都是奇数；

(2) 若对一切 $n \in N_{+}$ 都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，求 $a_{1}$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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第一问：使用数学归纳法。设 $a_{k}$ 为奇数，通过代数展开证明 $a_{k + 1}$ 形式为 $m (m + 1) + 1$ （连续两整数乘积加一），从而证明其必为奇数。

第二问：将 $a_{n + 1} > a_{n}$ 转化为一元二次不等式 $(a_{n} - 1) (a_{n} - 3) > 0$ 。结合构造函数 $f (x) = \frac{1}{4} (x^{2} + 3)$ 的不动点（1和3）及单调性，分类讨论 $a_{1}$ 落在各个区间时数列的单调性表现。

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$a_{1}$ 的取值范围为 $(0, 1) \cup (3, + \infty)$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 证明：使用数学归纳法。 ① 当 $n = 1$ 时，已设 $a_{1}$ 为奇数。令 $a_{1} = 2 k + 1 (k \in Z)$ ，则： $a_{2} = \frac{1}{4} (a_{1}^{2} + 3) = \frac{1}{4} [(2 k + 1)^{2} + 3] = \frac{1}{4} (4 k^{2} + 4 k + 4) = k (k + 1) + 1$ 因为 $k (k + 1)$ 为两个连续整数的乘积，必为偶数，所以 $a_{2}$ 必为奇数。结论在 $n = 2$ 时成立。 ② 假设当 $n = m (m ⩾ 2)$ 时， $a_{m}$ 为奇数。令 $a_{m} = 2 M + 1 (M \in Z)$ ，则： $a_{m + 1} = \frac{1}{4} (a_{m}^{2} + 3) = \frac{1}{4} [(2 M + 1)^{2} + 3] = M (M + 1) + 1$ 同理可知， $a_{m + 1}$ 亦为奇数。综上所述，对一切 $n ⩾ 2$ ， $a_{n}$ 都是奇数。

(2) 解：由对一切 $n \in N_{+}$ 都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，得： $\frac{1}{4} (a_{n}^{2} + 3) > a_{n} ⟹ a_{n}^{2} - 4 a_{n} + 3 > 0 ⟹ (a_{n} - 1) (a_{n} - 3) > 0$ 要使该式对一切 $n \in N_{+}$ 恒成立，各未知项必须满足 $a_{n} < 1$ 或 $a_{n} > 3$ 。构造函数 $f (x) = \frac{1}{4} (x^{2} + 3) (x > 0)$ ，其不动点为 $x = 1$ 或 $x = 3$ 。

当 $0 < a_{1} < 1$ 时，由 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递增，得 $\frac{3}{4} ⩽ a_{2} < 1$ ．通过数学归纳法可证，对一切 $n \in N_{+}$ 恒有 $0 < a_{n} < 1$ ．此时 $(a_{n} - 1) (a_{n} - 3) > 0$ 恒成立，即 $a_{n + 1} > a_{n}$ 恒成立．

当 $a_{1} = 1$ 或 $a_{1} = 3$ 时， $a_{2} = a_{1}$ ，不满足 $a_{n + 1} > a_{n}$ ．

当 $1 < a_{1} < 3$ 时， $(a_{1} - 1) (a_{1} - 3) < 0 ⟹ a_{2} < a_{1}$ ，不满足恒递增条件．

当 $a_{1} > 3$ 时，由 $f (x)$ 在 $(3, + \infty)$ 上单调递增，得 $a_{2} = f (a_{1}) > f (3) = 3$ ．通过数学归纳法可证，对一切 $n \in N_{+}$ 恒有 $a_{n} > 3$ ．此时 $(a_{n} - 1) (a_{n} - 3) > 0$ 恒成立，即 $a_{n + 1} > a_{n}$ 恒成立．

综上所述， $a_{1}$ 的取值范围为 $(0, 1) \cup (3, + \infty)$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法的标准步骤；一元二次不等式的区间化归；利用函数单调性传递数列范围。

核心方法：不动点区间讨论法。

避坑指南：第一问需明确指出 $k (k + 1)$ 为偶数这一关键整除性质；第二问易漏掉 $0 < a_{1} < 1$ 这一解集区间，切记二次不等式大于 0 的解集分布在两边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题基于一维离散动力系统的迭代性质。函数 $f (x) = \frac{1}{4} (x^{2} + 3)$ 的不动点 $x = 1$ 为稳定吸引子， $x = 3$ 为不稳定排斥子。

结论推广: 对于递推关系 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，数列单调递增的充要条件为首项 $a_{1}$ 落在满足 $f (x) > x$ 且关于 $f (x)$ 保持区间封闭的无交并集内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式

2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式

2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数

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2009-安徽卷理-21 解-数列

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