2009-山东卷文-01 单-集合并集

本题导读

考查集合并集与互异性。$a=4$ 时 $a^2=16$ 恰补齐并集 $\{0,1,2,4,16\}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 集合 $A=\{0,2,a\}$，$B=\{1,a^2\}$.若 $A\cup B=\{0,1,2,4,16\}$，则 $a$ 的值为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a\in A\cup B$，故 $a\in \{0,1,2,4,16\}$；又 $a\ne 0$，$a\ne 2$（互异性）。
2. 逐一验证：$a=1$ 时并集缺 $4$ 与 $16$，不合；$a=4$ 时 $a^2=16$，并集恰为 $\{0,1,2,4,16\}$，合题；$a=16$ 时 $a^2=256$ 不在并集中，不合。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $A\cup B=\{0,1,2,4,16\}$ 知 $a$，$a^2$ 均属于该集合。 $a=1$ 时 $a^2=1$，$A\cup B=\{0,1,2\}$，不合； $a=4$ 时 $a^2=16$，$A\cup B=\{0,2,4\}\cup \{1,16\}=\{0,1,2,4,16\}$，合题； $a=16$ 时 $a^2=256\notin A\cup B$，不合。 故 $a=4$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的并集与元素互异性

核心方法：由 $a$ 与 $a^2$ 同在并集锁定候选，再用互异性与并集逐个验证

避坑指南：$a=1$ 时 $B=\{1\}$ 与 $A=\{0,2,1\}$ 的并集缺 $4$ 与 $16$；$a=-4$ 时 $-4\notin A\cup B$ 直接排除，互异性一票否决。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：并集给定时，集合里每个元素都必须来自给定的并集，先把 $a$ 的候选筛出来。

结论推广：验证时把 $A$，$B$ 都写全，别只看 $a^2$。

方法推广：$a$ 与 $a^2$ 不能相等（互异性），$a=0$，$a=1$ 都因此或因并集不符被排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-01 单-集合并集
• 2009-辽宁卷文-01 单-集合并集
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2012-山东卷文-02 单-集合的补集与并集