2009-山东卷理-09 单-双曲线

本题导读

本题属于圆锥曲线的综合型选择题，巧妙地将双曲线的渐近线与抛物线的位置关系结合在一起。解题的关键是通过联立方程，利用判别式 $\Delta =0$ 确定渐近线斜率，进而求解双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线与抛物线 $y=x^2+1$ 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ()

A. $\frac{5}{4}$　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 确定渐近线方程：由双曲线标准方程写出渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

2. 联立方程分析公共点：将其中一条渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 与抛物线 $y=x^2+1$ 联立，得到关于 $x$ 的一元二次方程。

3. 运用判别式求斜率比值：只有一个公共点说明对应的二次方程有且仅有一个实根，即判别式 $\Delta =0$，由此求得 $\frac{b}{a}$ 的值。

4. 计算离心率：利用离心率公式 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$ 直接求得结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定渐近线方程： 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x$

2. 联立抛物线求公共点： 不妨取其中一条渐近线 $y=\frac{b}{a}x$，与抛物线 $y=x^2+1$ 联立： $\{\begin{array}{l}y=\frac{b}{a}x\\ y=x^2+1\end{array}⟹x^2-\frac{b}{a}x+1=0$ 因为渐近线与抛物线只有一个公共点， 所以上述一元二次方程有且仅有一个实根。 其判别式必须为零： $\Delta ={\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-4\times 1\times 1=0$ 解得： $\frac{b^2}{a^2}=4⟹\frac{b}{a}=2(\text{因为 }a>0,b>0)$

3. 计算离心率 $e$： 根据双曲线中 $a,b,c$ 的关系 $c^2=a^2+b^2$，可得离心率公式： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$ 代入 $\frac{b^2}{a^2}=4$ 得： $e=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ （若取另一条渐近线 $y=-\frac{b}{a}x$，同理可得 $\frac{b}{a}=2$，$e=\sqrt{5}$）

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线方程、直线与抛物线相切的代数特征、双曲线离心率的代数表达。
2. 核心方法：联立方程法、判别式 $\Delta =0$ 判定法。
3. 避坑指南：

• 直线与抛物线只有一个公共点，通常分“直线与抛物线对称轴平行（一次方程）”和“相切（二次方程且 $\Delta =0$）”两种情况。由于本题中渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 的斜率不可能无限大（即不平行于 $y$ 轴），故只能是相切的情况，无需讨论一次方程的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将双曲线和抛物线两条核心圆锥曲线通过“共点”相融合，重点在考查坐标法、方程思想，属于高考中档偏上的压轴选填题。
2. 结论推广：

• 焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线与抛物线 $y=x^2+d(d>0)$ 相切的充要条件是双曲线的离心率 $e=\sqrt{1+4d}$。本题即为 $d=1$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2012-山东卷文-11 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2013-天津卷文-11 填-抛物线与双曲线