2009-山东卷理-12 单-线性规划

本题导读

本题是一道将线性规划与基本不等式完美融合的压轴选择题。首先需要通过图解法确定目标函数在可行域内的最值点，得到关于参数 $a,b$ 的等量关系，再利用基本不等式中的“1”的代换技巧求出目标代数式的最小值。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}3x-y-6\le 0\\ x-y+2\ge 0\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$，若目标函数 $z=ax+by(a>0,b>0)$ 的最大值为 $12$，则 $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$ 的最小值为 ()

A. $\frac{25}{6}$　　　　　　B. \frac{8}{3}　　　　　　C. \frac{11}{3}　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 绘制可行域：在直角坐标系中画出约束条件对应的可行域，确定可行域的各个顶点。

2. 确定最大值点：分析目标函数 $z=ax+by(a>0,b>0)$ 的几何意义。由于斜率为负，且向右上方平移时 $z$ 增大，因此最大值必在可行域的最右上方顶点处取得。

3. 建立等量关系：求得顶点坐标，代入目标函数，建立关于 $a,b$ 的方程。

4. 求代数式最值：利用基本不等式中“乘 1”的恒等变形技巧求出 $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$ 的最小值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定可行域及顶点坐标： 约束条件 $\{\begin{array}{l}3x-y-6\le 0\\ x-y+2\ge 0\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$ 确定的平面区域为以 $O(0,0)$，$C(2,0)$，$A(4,6)$，$B(0,2)$ 为顶点的凸四边形（含边界）。 其中顶点 $A$ 的坐标由两边界线交点解出： $\{\begin{array}{l}3x-y-6=0\\ x-y+2=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=4\\ y=6\end{array}⟹A(4,6)$

2. 确定最值对应的顶点： 目标函数 $z=ax+by$ 可化为： $y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$ 因为 $a>0,b>0$，所以该直线的斜率 $-\frac{a}{b}<0$，截距 $\frac{z}{b}$ 随 $z$ 的增大而增大。 当直线经过可行域的最右上角顶点 $A(4,6)$ 时，截距最大，此时 $z$ 取得最大值。 所以： $z_{\max }=4a+6b=12$ 简化得： $2a+3b=6(a>0,b>0)$

3. 利用基本不等式求解最小值： 要求 $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$ 的最小值，采用“乘1”常数代换法： $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=\frac{1}{6}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)(2a+3b)$ 展开该式： $=\frac{1}{6}\left(4+\frac{6b}{a}+\frac{6a}{b}+9\right)=\frac{1}{6}\left(13+6\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\right)$ 由于 $a>0,b>0$，由基本不等式可得： $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}\times \frac{a}{b}}=2$ 当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即 $a=b$ 时等号成立。 代入上式中： $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\ge \frac{1}{6}(13+6\times 2)=\frac{25}{6}$ （此时，由 $\{\begin{array}{l}2a+3b=6\\ a=b\end{array}$ 可解得 $a=b=1.2>0$，满足等号成立的条件）

因此，$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$ 的最小值为 $\frac{25}{6}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次线性规划、目标函数几何意义的平移、基本不等式“常数代换法”（俗称“乘1法”）。
2. 核心方法：图解法求最值确定等量关系 $\to$ 代数恒等变形配合基本不等式求多元代数式最值。
3. 避坑指南：

• 等号成立条件检验：在使用基本不等式时，必须检验等号成立的条件是否在定义域内。本题求得等号成立时 $a=b=1.2$，均大于0，满足前提条件。

• 忌用二次代换：有的学生尝试单独解出 $a=\frac{6-3b}{2}$ 强行代入，会形成较为复杂的繁分式分子分母计算，容易在通分和求导时因计算量大而失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将“平面解析几何”中的线性规划问题作为前置条件，用来产生“均值不等式”所需的约束等式 $ma+nb=S$。这种跨模块的综合极具高考试题的融合特色。

2. 结论推广： 若已知 $ma+nb=S(m,n,S,a,b>0)$，要求 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}(x,y>0)$ 的最小值，其通用结果为： ${\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)}_{\min }=\frac{(\sqrt{mx}+\sqrt{ny}{)}^2}{S}$ 本题中 $m=2,n=3,S=6,x=2,y=3$，带入公式得： $\text{最小值}=\frac{(\sqrt{2\times 2}+\sqrt{3\times 3}{)}^2}{6}=\frac{(2+3{)}^2}{6}=\frac{25}{6}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明