2009-广东卷理-07 单-排列组合

本题导读

本题是以亚运会志愿者岗位选派为背景的排列组合应用题。题目对特定元素（小张和小赵）和特定位置（前两项工作）给出了明确限制，考查分类讨论思想的严密性。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ()

A. 36 种　　　　　B. 12 种　　　　　C. 18 种　　　　　D. 48 种

🔍【思路分析】

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1. 限制条件在于小张和小赵只能从事前两项工作（翻译、导游）。

2. 可从小张、小赵被选入的状况进行分类讨论：① 两人均被选出；② 两人中仅有一人被选出。由于其余三人没有限制，再用排列数填充剩余岗位即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

按小张和小赵被选出参加工作的人数进行分类讨论：

第一类：小张和小赵两人都被选出 此时前两项工作（翻译、导游）必须由小张和小赵承担，方案数为 $A_2^2=2$ 种。 后两项工作（礼仪、司机）从其余 3 人中选出 2 人承担，方案数为 $A_3^2=3\times 2=6$ 种。 根据分步乘法计数原理，此类方案共有 $2\times 6=12$ 种。

第二类：小张和小赵中只有一人被选出 首先从两人中选出 1 人，有 $C_2^1=2$ 种选法；该人只能从事前两项工作中的 1 项，有 $C_2^1=2$ 种选法。 此时还剩下 3 个工作岗位（前两项中余下的 1 项以及后两项），而剩下能从事所有工作的人员刚好有 3 人（小李、小罗、小王），将其全排列至剩余 3 个岗位，方案数为 $A_3^3=6$ 种。 根据分步乘法计数原理，此类方案共有 $2\times 2\times 6=24$ 种。

注：若小张和小赵均不被选出，由于只剩 3 人无法完成 4 项不同工作，故此种情况不存在。

综上所述，由分类加法计数原理，不同的选派方案共有 $12+24=36$ 种。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：特殊元素、特殊职位的排列组合问题。

2. 核心方法：“特殊元素优先安排”或基于元素入选的“分类讨论法”。

3. 避坑指南：在第二类讨论中，容易漏掉被选出的人在前两项工作中“二选一”的这一步安排，或者误认为其余 3 人的工作范围受限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自排列组合的经典模型——“有限制条件的分配问题”。此类问题在历年高考中频频以社会实践、志愿服务等现实生活场景为载体出现。

2. 结论推广：从 $m$ 个特殊元素和 $n$ 个普通元素中选出 $k$ 个元素填入 $k$ 个有顺序的岗位，其中特殊元素只能填入前 $r$ 个特殊岗位。通常可依据特殊元素占有特殊岗位的个数 $i$ ($0\le i\le r$) 建立通用组合数求和模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用