2009-广东卷理-11 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解。核心在于熟练运用椭圆的第一定义确定长半轴长 $a$，并结合离心率求出半焦距 $c$，最终通过焦点位置确定标准方程。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 已知椭圆 $G$ 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $G$ 上一点到 $G$ 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 $G$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由椭圆定义知，曲线上一点到两焦点的距离之和即为 $2a$，从而求出 $a$。

2. 根据离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求出 $c$，由关系式 $b^2=a^2-c^2$ 得到 $b^2$。最后依据焦点在 $x$ 轴上写出方程。

✅【答案】

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$x236+y29=1$

✍【详细解析】

Abstract

根据椭圆的第一定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴长 $2a$。 所以 $2a=12⟹a=6$，从而 $a^2=36$。 又因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以 $c=a\cdot e=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。 根据椭圆中 $a,b,c$ 的几何关系： $b^2=a^2-c^2=6^2-(3\sqrt{3}{)}^2=36-27=9$。 由于椭圆的中心在原点，且长轴在 $x$ 轴上，其标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。 代入 $a^2=36,b^2=9$ 得到椭圆 $G$ 的方程为 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的定义、离心率概念、标准方程的确定。

2. 核心方法：利用特征性质构造关于 $a,b,c$ 的方程组（待定系数法）。

3. 避坑指南：必须先明确长轴所在的坐标轴以决定标准方程的类型，避免将 $a^2$ 和 $b^2$ 的分母位置写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为圆锥曲线中最经典的常规基础题，直接源自教材中椭圆标准方程与性质的例题变形。

2. 结论推广：若已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的圆锥曲线的离心率为 $e$，曲线上一动点到两焦点的距离之和为 $2A$。当 $e<1$ 时，方程为椭圆 $\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{A^2(1-e^2)}=1$（长轴在 $x$ 轴）或其对称形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$x236+y29=1$

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-北京卷理-19 解-椭圆