2009-广东卷理-13 填-参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程以及两条直线垂直的充要条件。通过参数方程提取两条直线的方向向量，利用向量数量积为零求解参数。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(理)） 若直线 $l_1:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2+kt\end{array}$ ($t$ 为参数) 与直线 $l_2:\{\begin{array}{l}x=s\\ y=1-2s\end{array}$ ($s$ 为参数) 垂直，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 从直线的参数方程中直接读取两直线的方向向量 ${\vec{v}}_1$ 和 ${\vec{v}}_2$。

2. 根据两直线垂直等价于它们的方向向量数量积为零（${\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2=0$），列出关于 $k$ 的一元一次方程求解。

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

由直线 $l_1$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2+kt\end{array}$，可知其方向向量为 ${\vec{v}}_1=(-2,k)$。 由直线 $l_2$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=s\\ y=1-2s\end{array}$，可知其方向向量为 ${\vec{v}}_2=(1,-2)$。 因为直线 $l_1\perp l_2$，所以其方向向量互相垂直，即 ${\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2=0$。 因此： $(-2)\times 1+k\times (-2)=0$ $-2-2k=0⟹k=-1$。

故填：$-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线参数方程的标准形式与方向向量的关系、平面向量垂直的坐标表示。

2. 核心方法：向量法（比转化为普通方程求斜率更快捷且不易因斜率不存在而漏解）。

3. 避坑指南：提取方向向量时，注意认清参数（$t$ 或 $s$）前面的系数，不要误将常数项当作向量坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于选修系列中“坐标系与参数方程”的经典基础题型，旨在考查参数方程向几何几何关系的直接转化。

2. 结论推广：若直线 $l_1$ 的方向向量为 $(a_1,b_1)$，直线 $l_2$ 的方向向量为 $(a_2,b_2)$，则两直线垂直的充要条件为 $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心