2009-江西卷理-09 单-二面角

本题导读

本题考查立体几何中的线面平行、异面直线夹角及二面角的计算。题干中给出了两两垂直的三条射线，天然提示建立空间直角坐标系，利用空间向量代数化是判定各命题真伪最高效的解法。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 如图，正四面体 $ABCD$ 的顶点 $A,B,C$ 分别在两两垂直的三条射线 $Ox,Oy,Oz$ 上，则在下列命题中，错误的为 ()

A. $O-ABC$ 是正三棱锥　　　　　　　　　　B. 直线 $OB\parallel$ 平面 $ACD$

C. 直线 $AD$ 与 $OB$ 所成的角是 $45^{\circ }$　　　　D. 二面角 $D-OB-A$ 为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $OA=a,OB=b,OC=c$，由正四面体棱长相等推导 $a=b=c$，进而建立空间直角坐标系并写出各点坐标。
2. 依据空间距离公式或正四面体中心对称性，求出顶点 $D$ 的坐标。
3. 运用空间向量的法向量和数量积运算，逐一验证四个选项的几何特征。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $OA=a,OB=b,OC=c$，因射线两两垂直， $AB=\sqrt{a^2+b^2},BC=\sqrt{b^2+c^2},CA=\sqrt{c^2+a^2}$。 因为 $ABCD$ 为正四面体，所以 $△ABC$ 为正三角形，故 $AB=BC=CA$， 推得 $a^2+b^2=b^2+c^2=c^2+a^2$，即 $a=b=c$。 所以 $O$ 在平面 $ABC$ 上的射影为正 $△ABC$ 的中心，即 $O-ABC$ 是正三棱锥，(A) 正确。 以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，设 $A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)$ $(a>0)$，则各棱长为 $\sqrt{2}a$。 设 $D(x,y,z)$，因 $D$ 到 $A,B,C$ 距离相等均为 $\sqrt{2}a$，由对称性且结合图示 $D$ 在第一卦限，易解得 $D(a,a,a)$。 （验证：$A{D}^2=(a-a{)}^2+(a-0{)}^2+(a-0{)}^2=2a^2$，符合） 对于 (B)：$\overrightarrow{OB}=(0,a,0)$。平面 $ACD$ 内向量 $\overrightarrow{AC}=(-a,0,a),\overrightarrow{AD}=(0,a,a)$。 设平面 $ACD$ 法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}-ax+az=0\\ ay+az=0\end{array}$，取 $\vec{n}=(1,-1,1)$。 $\overrightarrow{OB}\cdot \vec{n}=0\times 1+a\times (-1)+0\times 1=-a\ne 0$。 所以 $\overrightarrow{OB}$ 与 $\vec{n}$ 不垂直，即直线 $OB$ 不平行于平面 $ACD$，故 (B) 错误。 对于 (C)：$\overrightarrow{AD}=(0,a,a),\overrightarrow{OB}=(0,a,0)$。 $\cos ⟨\overrightarrow{AD},\overrightarrow{OB}⟩=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{OB}|}=\frac{a^2}{\sqrt{2}a\cdot a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。夹角为 $45^{\circ }$，(C) 正确。 对于 (D)：平面 $OBA$ 即 $xy$ 平面，其法向量 $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$。 平面 $DOB$ 过点 $O,B(0,a,0),D(a,a,a)$，设其法向量 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}ay=0\\ ax+ay+az=0\end{array}$，取 $\overrightarrow{n_2}=(1,0,-1)$。 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{-1}{1\cdot \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。二面角为锐二面角，大小为 $45^{\circ }$，(D) 正确。 故错误的命题为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：坐标法证明立体几何问题，空间向量夹角公式。
2. 核心方法：建系、求坐标、利用向量内积验证平行与角度。
3. 避坑指南：求点 $D$ 坐标时，除了 $D(a,a,a)$ 还有一解 $D(-\frac{a}{3},-\frac{a}{3},-\frac{a}{3})$。但结合题图，正四面体的 $D$ 点向三条正半轴方向张开，故取 $D(a,a,a)$。即使取另一解，(B) 依然错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何中著名的“墙角模型”（正方体截角模型）。正四面体 $ABCD$ 可视作棱长为 $a$ 的正方体中，截取不相邻四个顶点组成的四面体，原点 $O$ 即为正方体的一个顶点。
2. 结论推广: 借助正方体模型理解正四面体，可迅速得出各顶点坐标及线面角度关系，是秒杀此类压轴小题的绝招。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角