2009-江西卷理-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算及平行条件，通过列出坐标关系方程即可求解。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(3,1)$，$\mathbf{b}=(1,3)$，$\mathbf{c}=(k,7)$. 若 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\parallel \mathbf{b}$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首先求出向量 $\mathbf{a}-\mathbf{c}$ 的坐标。
2. 利用两向量平行的坐标公式 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 建立关于 $k$ 的方程并求解。

✅【答案】

点击查看答案

$5$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(3,1)$，$\mathbf{c}=(k,7)$， 所以 $\mathbf{a}-\mathbf{c}=(3-k,1-7)=(3-k,-6)$。 又因为 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\parallel \mathbf{b}$，且 $\mathbf{b}=(1,3)$， 所以 $3\times (3-k)-1\times (-6)=0$。 即 $9-3k+6=0$，解得 $3k=15$，$k=5$。 故答案为 $5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的减法坐标运算，向量平行的充要条件。
2. 核心方法：坐标公式法。
3. 避坑指南：注意向量平行的坐标关系为交叉相乘相减等于0，切勿与向量垂直的数量积公式（对应坐标相乘相加等于0）混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考常规的向量基础计算题。
2. 结论推广: 若 $\mathbf{x}\parallel \mathbf{y}$ 且 $\mathbf{y}\ne 0$，则存在唯一实数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{x}=\lambda \mathbf{y}$，亦可借此设参求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心