2009-江西卷理-20 解-面面垂直

本题导读

本题为立体几何综合压轴题。考查面面垂直的证明、线面角的求解及点到平面的距离。“以 $A C$ 为直径的球面交点”是本题的核心隐藏条件，其本质是提示对应连线的垂直关系。第二、三问通过建立空间直角坐标系，利用法向量和线段比例转化，可以有效规避复杂的几何作图与繁琐坐标解算。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)）在四棱锥 $P - A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ , $P A = A D = 4, A B = 2$ . 以 $A C$ 的中点 $O$ 为球心、 $A C$ 为直径的球面交 $P D$ 于点 $M$ , 交 $P C$ 于点 $N$ .

(1) 求证: 平面 $A B M ⊥$ 平面 $P C D$ ;

(2) 求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成的角的大小;

(3) 求点 $N$ 到平面 $A C M$ 的距离.

🔍【思路分析】

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证明面面垂直的关键是寻找线面垂直。利用 $A B ⊥$ 平面 $P A D$ 得到 $A B ⊥ P D$ ；由球的性质可知 $∠ A M C = 9 0^{\circ}$ ，结合 $C D ⊥$ 平面 $P A D$ 可证得 $M$ 为 $P D$ 中点，从而 $A M ⊥ P D$ 。得出 $P D ⊥$ 平面 $A B M$ 即可。

建立空间直角坐标系，求出平面 $A C M$ 的法向量，利用方向向量与法向量的夹角公式求线面角。

直接求 $N$ 点坐标较繁琐，可利用球的性质得出 $∠ A N C = 9 0^{\circ}$ （即 $A N ⊥ P C$ ）。在 $Rt △ P A C$ 中利用射影定理求出 $C N$ 与 $C P$ 的长度比。因为 $C$ 在平面 $A C M$ 内，点 $N$ 到平面的距离即为点 $P$ 到平面距离的对应比例缩小。

✅【答案】

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因此平面𝐴𝐶𝑀的方程为2𝑥−𝑦+ 𝑧= 0

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $P A ⊥ A B$ 。又底面 $A B C D$ 为矩形，所以 $A B ⊥ A D$ 。因为 $P A \cap A D = A$ ，所以 $A B ⊥$ 平面 $P A D$ 。又 $P D \subset$ 平面 $P A D$ ，所以 $A B ⊥ P D$ 。因为点 $M$ 在以 $A C$ 为直径的球面上，所以 $A M ⊥ M C$ 。由 $C D ⊥ A D$ ， $C D ⊥ P A$ 得 $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ，所以 $C D ⊥ A M$ 。因为 $M C \cap C D = C$ ，所以 $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ，从而 $A M ⊥ P D$ 。（注：也可由 $P A = A D = 4$ 得 $△ P A D$ 为等腰直角三角形，由 $A M ⊥ P D$ 知 $M$ 为 $P D$ 中点）。因为 $A B \cap A M = A$ ，所以 $P D ⊥$ 平面 $A B M$ 。又 $P D \subset$ 平面 $P C D$ ，所以平面 $A B M ⊥$ 平面 $P C D$ 。

(2) 解： 以 $A$ 为原点， $A B$ , $A D$ , $A P$ 方向分别为 $x, y, z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。由题意得 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2, 0, 0)$ ， $D (0, 4, 0)$ ， $P (0, 0, 4)$ ， $C (2, 4, 0)$ 。由 (1) 知 $M$ 为 $P D$ 的中点，所以 $M (0, 2, 2)$ 。 $A C = (2, 4, 0)$ ， $A M = (0, 2, 2)$ ， $C D = (- 2, 0, 0)$ 。设平面 $A C M$ 的法向量为 $n = (x, y, z)$ ，则： ${n \cdot A C = 2 x + 4 y = 0 n \cdot A M = 2 y + 2 z = 0$ 令 $y = - 1$ ，则 $x = 2$ ， $z = 1$ ，得 $n = (2, - 1, 1)$ 。设直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成的角为 $θ$ ，则： $sin θ = ∣ cos ⟨ C D, n ⟩ ∣ = \frac{∣ C D \cdot n ∣}{∣ C D ∣∣ n ∣} = \frac{∣ - 4∣}{2 \times 6} = \frac{6}{3}$ 。所以直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成角的大小为 $arcsin \frac{6}{3}$ 。

(3) 解： 由已知，点 $N$ 在以 $A C$ 为直径的球面上，所以 $A N ⊥ P C$ 。在 $Rt △ P A C$ 中， $P A = 4$ ， $A C = 2^{2} + 4^{2} = 25$ ， $P C = 4^{2} + (25)^{2} = 6$ 。由射影定理得 $A C^{2} = C N \cdot C P$ ，即 $(25)^{2} = C N \times 6$ ，解得 $C N = \frac{10}{3}$ 。所以 $\frac{C N}{C P} = \frac{10/3}{6} = \frac{5}{9}$ 。点 $P$ 到平面 $A C M$ 的距离 $d_{P} = \frac{∣ A P \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ 。因为 $A P = (0, 0, 4)$ ，所以 $d_{P} = \frac{∣0 + 0 + 4∣}{6} = \frac{2 6}{3}$ 。由于直线 $P C$ 与平面 $A C M$ 交于点 $C$ ，点 $N$ 在线段 $P C$ 上，设点 $N$ 到平面 $A C M$ 的距离为 $d_{N}$ ，则 $\frac{d _{N}}{d _{P}} = \frac{C N}{C P} = \frac{5}{9}$ 。故 $d_{N} = \frac{5}{9} \times \frac{2 6}{3} = \frac{10 6}{27}$ 。即点 $N$ 到平面 $A C M$ 的距离为 $\frac{10 6}{27}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面性质转化为线线垂直，空间坐标系的建立与法向量求解，距离的比例转化。

核心方法：

翻译条件：“以某线段为直径的球面交点”立刻等价翻译为对该线段张角为 $9 0^{\circ}$ 的直角关系。

降维计算：利用共点线段的长度比例转化点面距离（等高线模型变体），可大幅减少求空间点坐标的庞大运算量。

避坑指南：第(2)问求线面角时，利用公式算出的余弦绝对值等于线面角的正弦值（ $sin θ = ∣ cos ⟨ a, n ⟩ ∣$ ），切勿混淆导致写成 $arccos$ ；第(3)问若强行求 $N$ 点坐标容易在繁杂的分数运算中算错，利用射影定理找比例是最佳破局点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是经典的高考立体几何综合题，其“球与多面体结合”的模型在近年的新高考中仍屡见不鲜（如“阿波罗尼斯球”与多面体的结合）。

结论推广: 若空间中一直线 $L$ 交平面 $α$ 于点 $C$ ，线上有两点 $P, N$ ，则点 $P, N$ 到平面 $α$ 的距离之比恒等于 $C P : C N$ 。这一规律在处理截面距离、体积比例问题时是通用法宝。

🔗【关联脉络】

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09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直

2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行

2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直

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2009-江西卷理-20 解-面面垂直

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