本题导读
本题考查直三棱柱。
📌【题干】
Question
（2012年江苏卷） 如图，在直三棱柱 中，，， 分别是棱 ， 上的点（点 不同于点 ），且 ， 为 的中点.求证：
(1) 平面 平面 ；
(2) 直线 平面 .
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🔍【思路分析】
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先证 且 是 中点，再由 得面面垂直； 得线面平行。
✅【答案】
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见解析
✍【详细解析】
Abstract
由直三棱柱的性质，，，所以 ，因而 是等腰三角形。
因为 平面 ，而 在 上，所以 在底面上的射影是 。直线 在底面内，且已知 ，故 。
由于 ，直线 就是直线 ，所以 。在等腰三角形 中，顶点 到底边 的垂线也是中线，故 是 的中点。
（1）直线 在底面 内，且 平面 ，所以 。又 ，而直线 与 相交且都在平面 内，故 平面 。由于 平面 ，可得平面 平面 。
（2） 是 的中点， 是 的中点，所以 （四边形 中， 与 平行且相等）。又 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：三垂线（射影）关系；面面垂直与线面平行的判定定理；等腰三角形三线合一
核心方法：把垂直条件通过柱体侧棱垂直底面投影到底面，转化为 ；平行用中位线平移
避坑指南： 不能直接用（ 不在底面内），必须借助 底面把 投影为 ；漏掉这一步直接说 属于推理跳步。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：直三棱柱平行垂直证明题，与 2012 年辽宁卷文第 18 题、2013 年天津卷文第 17 题同族。
结论推广：直棱柱中”侧面内的斜线垂直于底面内的线”都可三垂线化归；上下底面对应中点的连线平行于底面对应线段，是找线面平行的常用辅助线。
方法推广：立体几何证明先”降维”：柱体侧棱垂直底面，把空间垂直投影到平面内处理；证平行优先找中点、中位线做平移。
🔗【关联脉络】
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