2009-浙江卷理-03 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数四则混合运算，主要测试复数除法分母实数化与二倍角（展开）的计算功底。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 设 $z=1+i$ ($i$ 是虚数单位)，则 $\frac{2}{z}+z^2=$ ()

A. $-1-i$　　　　B. $-1+i$　　　　C. $1-i$　　　　D. $1+i$

🔍【思路分析】

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1. 分别处理代数式的两部分：对 $\frac{2}{z}$ 进行分母实数化化简；对 $z^2$ 直接运用完全平方公式展开。

2. 将两部分化简后的结果相加，合并实部与虚部。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z=1+i$， 第一部分： $\frac{2}{z}=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2(1-i)}{2}=1-i$ 第二部分： $z^2=(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$ 两部分相加得： $\frac{2}{z}+z^2=(1-i)+2i=1+i$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法与乘方的代数运算。

2. 核心方法：逐步分块化简法。

3. 避坑指南：熟记常用结论可加速解题，如 $(1+i{)}^2=2i$ 以及 $\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}$。计算中注意 $i^2=-1$ 的符号变换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 题目来自教材复数代数运算的经典组合变形，是高考试卷前三题中稳定的基础分考查。

2. 结论推广: 对于复数 $z=1+i$，有 $\frac{2}{z}=\bar{z}$。所以 $\frac{2}{z}+z^2=\bar{z}+z^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算