2009-浙江卷理-05 单-立体几何

本题导读

本题考查空间立体几何中线面角的计算。关键在于利用正三棱柱的对称性与垂直关系找准线段在平面上的射影，从而将空间角转化为直角三角形的内角问题。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 $D$ 是侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的中心，则 $AD$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成角的大小是 ()

A. $30^{\circ }$　　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　　D. $90^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据题意，该几何体为正三棱柱。取 $BC$ 的中点 $E$，连接 $AE$，根据等边三角形性质有 $AE\perp BC$。

2. 利用面面垂直的性质判定 $AE\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，从而确定点 $A$ 在平面上的射影为 $E$。

3. 得到 $AD$ 与该平面所成的角即为 $\angle ADE$。在直角 $△AED$ 中通过计算边长利用正切函数求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设该正三棱柱的棱长均为 1。 取 $BC$ 的中点 $E$，连接 $AE$。因为 $△ABC$ 为正三角形，所以 $AE\perp BC$，且 $AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于侧棱垂直于底面，平面 $ABC\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，且两平面交线为 $BC$。 因为 $AE\subset$ 平面 $ABC$ 且 $AE\perp BC$，所以 $AE\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。 连接 $DE$，则 $DE$ 是直线 $AD$ 在平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内的射影。 因此，直线 $AD$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $\angle ADE$。 因为点 $D$ 是正方形 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的中心，且 $E$ 是 $BC$ 的中点， 所以 $DE=\frac{1}{2}$，且 $△AED$ 是以 $\angle AED=90^{\circ }$ 为直角的直角三角形。 在直角 $△AED$ 中： $\tan \angle ADE=\frac{AE}{DE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ 因为 $\angle ADE\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\angle ADE=60^{\circ }$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的定义（斜线与其在平面内射影的夹角）、正三棱柱的线面垂直特征。

2. 核心方法：几何射影法。通过寻找“垂线、斜线、射影”构造直角三角形。

3. 避坑指南：寻找射影点时，必须严格证明 $AE\perp$ 平面，不能凭直觉盲目认定某点为垂足；侧面中心 $D$ 到边界中点 $E$ 的距离计算要准确，避免混淆为对角线长度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于立体几何章节关于正三棱柱空间位置关系的经典小题，重在考查考生的空间想象力与基本线面角证明。

2. 结论推广: 若正三棱柱各棱长为 $a$，底面顶点到对侧面中心的距离 $d=\sqrt{A{E}^2+D{E}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2}=a$。即 $△AED$ 的各边具固定比例，其线面角大小与棱长绝对尺寸无关，恒为 $60^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-16 解-折叠棱锥
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面