2009-浙江卷理-09 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程与离心率的计算。利用向量共线特征确定渐近线与已知直线的交点坐标比例，进而构建关于基本量 $a,b$ 的方程求解。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 $-1$ 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B,C$.若 $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，则双曲线的离心率是 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

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1. 写出右顶点 $A(a,0)$ 及斜率为 $-1$ 的直线方程 $x+y-a=0$。

2. 联立直线与两条渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，分别求出交点 $B$ 和 $C$ 的横坐标。

3. 利用向量关系 $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ 转化为横坐标关系 $x_C=3x_B-2a$，代入求得 $a$ 与 $b$ 的比例，最终算得离心率 $e$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的右顶点为 $A(a,0)$，过点 $A$ 且斜率为 $-1$ 的直线方程为 $y=-(x-a)$，即 $x+y-a=0$。 双曲线的两条渐近线方程分别为 $l_1:y=\frac{b}{a}x$ 和 $l_2:y=-\frac{b}{a}x$。 联立直线与 $l_1$ 得交点横坐标 $x=\frac{a^2}{a+b}$；联立直线与 $l_2$ 得交点横坐标 $x=\frac{a^2}{a-b}$。 由 $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ 可知，点 $B$ 在线段 $AC$ 上，且分线段成 $1:2$。 其横坐标满足关系：$x_B-a=\frac{1}{2}(x_C-x_B)⟹x_C=3x_B-2a$。 由于 $a>0,b>0$， 显然 $\frac{a^2}{a-b}>\frac{a^2}{a+b}$，故取 $x_B=\frac{a^2}{a+b}$， $x_C=\frac{a^2}{a-b}$。 代入横坐标关系式： $\frac{a^2}{a-b}=3\cdot \frac{a^2}{a+b}-2a$ 两边同除以 $a$ 并化简得： $\frac{a}{a-b}=\frac{3a-2(a+b)}{a+b}⟹\frac{a}{a-b}=\frac{a-2b}{a+b}$ $a(a+b)=(a-b)(a-2b)⟹a^2+ab=a^2-3ab+2b^2⟹2b^2=4ab$ 因为 $b>0$，所以 $b=2a$。 则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=\sqrt{5}a$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程、平面向量共线的坐标表示、离心率公式。

2. 核心方法：坐标解析法、方程消元法。

3. 避坑指南：根据 $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ 确定 $B,C$ 对应哪条渐近线时，可通过横坐标的大小关系 $\frac{a^2}{a-b}>\frac{a^2}{a+b}$ 进行精准匹配，避免由于盲目代入导致无解或计算冗余。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由解析几何中经典线段比例性质与圆锥曲线特征线（渐近线）的交汇演变而来。

2. 结论推广: 过双曲线右顶点 $A$ 作斜率为 $-1$ 的直线交两渐近线于 $B,C$，若 $\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{BC}$，则基本参数满足关系 $b=\frac{1+\lambda }{\lambda }a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心