2009-浙江卷理-10 单-绝对值不等式

本题导读

本题是一道函数新定义创新题。新定义实质上规定了函数变化率（割线斜率）的绝对值存在上界（即 Lipschitz 连续性）。考查学生抽象概念的具体化分析能力与不等式的代数推导素养。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 对于正实数 $\alpha$，记 $M_{\alpha }$ 为满足下述条件的函数 $f(x)$ 构成的集合：$\forall x_1,x_2\in \mathbf{R}$ 且 $x_2>x_1$，有 $-\alpha (x_2-x_1)<f(x_2)-f(x_1)<\alpha (x_2-x_1)$.下列结论中正确的是 ()

A. 若 $f(x)\in M_{{\alpha }_1},g(x)\in M_{{\alpha }_2}$，则 $f(x)\cdot g(x)\in M_{{\alpha }_1\cdot {\alpha }_2}$

B. 若 $f(x)\in M_{{\alpha }_1},g(x)\in M_{{\alpha }_2}$ 且 $g(x)\ne 0$，则 $\frac{f(x)}{g(x)}\in M_{\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}}$

C. 若 $f(x)\in M_{{\alpha }_1},g(x)\in M_{{\alpha }_2}$，则 $f(x)+g(x)\in M_{{\alpha }_1+{\alpha }_2}$

D. 若 $f(x)\in M_{{\alpha }_1},g(x)\in M_{{\alpha }_2}$ 且 ${\alpha }_1>{\alpha }_2$，则 $f(x)-g(x)\in M_{{\alpha }_1-{\alpha }_2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将新定义条件进行化简：由于 $x_2-x_1>0$，两边同除以 $x_2-x_1$ 可知，条件等价于 $\left|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right|<\alpha$。

2. 针对选项进行定性分析。对于和式（选项C），利用绝对值三角不等式进行叠加强制放大，容易验证其严格受控于两上界之和。

3. 对于积、商、差的形式，通过构造一次函数等简单反例，利用自变量趋于无穷大时斜率叠加或发散的效应予以排除。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意，定义条件等价于：对任意 $x_2>x_1$，恒有 $\left|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right|<\alpha$。

验证 C 选项： 已知 $f(x)\in M_{{\alpha }_1},g(x)\in M_{{\alpha }_2}$，则 $\left|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right|<{\alpha }_1$ 且 $\left|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}\right|<{\alpha }_2$。 对于函数 $F(x)=f(x)+g(x)$，其割线斜率绝对值为： $\left|\frac{F(x_2)-F(x_1)}{x_2-x_1}\right|=\left|\frac{[f(x_2)+g(x_2)]-[f(x_1)+g(x_1)]}{x_2-x_1}\right|=\left|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}\right|$ 根据绝对值三角不等式 $|A+B|\le |A|+|B|$ 得： $\left|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}\right|\le \left|\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right|+\left|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}\right|<{\alpha }_1+{\alpha }_2$ 即 $\left|\frac{F(x_2)-F(x_1)}{x_2-x_1}\right|<{\alpha }_1+{\alpha }_2$ 恒成立，因此 $f(x)+g(x)\in M_{{\alpha }_1+{\alpha }_2}$ 必然正确。

排除其他选项（构造反例法）：

• 对于 A：设 $f(x)=\frac{1}{2}{\alpha }_{1}x\in M_{{\alpha }_1}$， $g(x)=\frac{1}{2}{\alpha }_{2}x\in M_{{\alpha }_2}$。则 $f(x)g(x)=\frac{1}{4}{\alpha }_1{\alpha }_2{x}^2$。二次函数的割线斜率随 $x$ 增大而趋向无穷大，不可能属于任何有限集合 $M_{\alpha }$，A 错误；

• 对于 D：设 $f(x)=\frac{1}{2}{\alpha }_{1}x$, $g(x)=-\frac{1}{2}{\alpha }_{2}x$。其差为 $f(x)-g(x)=\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)x$，斜率为 $\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2)$。当 ${\alpha }_2$ 较大时该斜率明显可大于 ${\alpha }_1-{\alpha }_2$，D 错误。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：Lipschitz 连续性定义（割线斜率有界性）、绝对值三角不等式的放缩应用。

2. 核心方法：直接推导法结合反例排除法。

3. 避坑指南：容易把 D 选项误认为减法直接对应参数作差。实际上，当两个函数的斜率一正一负时，作差反而会导致斜率绝对值变大（即 $|A-B|$ 变换中，若 $A,B$ 异号，其值大于 $|A|-|B|$），由此即可规避陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等数学中数学分析的深刻背景，集合 $M_{\alpha }$ 对应的正是经典数学分析中的 Lipschitz 常数小于 $\alpha$ 的函数类。

2. 结论推广: 设 $f,g$ 分别为带有常量 $L_1,L_2$ 的 Lipschitz 连续函数，则其和函数 $f+g$ 对应的 Lipschitz 常数上限满足不大于 $L_1+L_2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明