2009-浙江卷理-11 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与前 $n$ 项和公式的代商化简，属于基础计算题。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=\frac{1}{2}$，前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $\frac{S_4}{a_4}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $S_4$ 和 $a_4$ 分别用首项 $a_1$ 和公比 $q$ 表达出来。

2. 约去首项 $a_1$ 后，将 $q=\frac{1}{2}$ 代入所得到的纯公比分式中计算求值。

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15

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列求和公式与通项公式得： $\frac{S_4}{a_4}=\frac{\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}}{a_1{q}^3}=\frac{1-q^4}{q^3(1-q)}$ 将 $q=\frac{1}{2}$ 代入上式中： $\frac{S_4}{a_4}=\frac{1-(\frac{1}{2}{)}^4}{(\frac{1}{2}{)}^3\times (1-\frac{1}{2})}=\frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{2}}=\frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{16}}=15$ 答案为：15

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列基本量的基本运算。

2. 核心方法：公式法，利用基本量 $a_1$ 和 $q$ 统一化简。

3. 避坑指南：在繁分式化简时注意指数的运算律，避免因层数过多发生计算失误；也可以通过令 $a_4=1$ 逆推前三项直接相加求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中等比数列章节关于前 $n$ 项和性质的常规运算练习。

2. 结论推广: 对于公比为 $q$ 的等比数列，其 $\frac{S_n}{a_n}=\frac{1-q^n}{q^{n-1}(1-q)}={\sum }_{k=1}^n{q}^{1-k}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件