2009-浙江卷理-15 填-排列组合

本题导读

本题考查归纳推理能力，要求通过对已知几个特殊等式的结构、指数及符号演变进行观察，总结出一般性的代数规律。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 观察下列等式: ${\text{C}}_5^1+{\text{C}}_5^5=2^3-2$, ${\text{C}}_9^1+{\text{C}}_9^5+{\text{C}}_9^9=2^7+2^3$, ${\text{C}}_{13}^1+{\text{C}}_{13}^5+{\text{C}}_{13}^9+{\text{C}}_{13}^{13}=2^{11}-2^5$, ${\text{C}}_{17}^1+{\text{C}}_{17}^5+{\text{C}}_{17}^9+{\text{C}}_{17}^{13}+{\text{C}}_{17}^{17}=2^{15}+2^7$, $\dots \dots$ 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$, ${\text{C}}_{4n+1}^1+{\text{C}}_{4n+1}^5+{\text{C}}_{4n+1}^9+\cdots +{\text{C}}_{4n+1}^{4n+1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察等式右侧第一项的底数均为 2，指数依次为 3, 7, 11, 15，构成首项为 3、公差为 4 的等差数列，通项为 $4n-1$。

2. 观察等式右侧第二项的运算符号，依次为 $-,+,-,+$，呈现以 2 为周期的交替变化，可以用 $(-1{)}^n$ 来刻画。

3. 观察等式右侧第二项的底数均为 2，指数依次为 1, 3, 5, 7，构成首项为 1、公差为 2 的等差数列，通项为 $2n-1$。将三部分规律组合即可得到一般化结论。

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$2^{4n-1}+(-1{)}^n{2}^{2n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

根据已知等式，依次分析右边代数式的构成规律：

• 第一项的指数：当 $n=1$ 时为 3；当 $n=2$ 时为 7；当 $n=3$ 时为 11；当 $n=4$ 时为 15。由此归纳出第 $n$ 个等式的项为 $2^{4n-1}$。
• 第二项的符号与指数： 当 $n=1$ 时为 $-2^1$； 当 $n=2$ 时为 $+2^3$； 当 $n=3$ 时为 $-2^5$； 当 $n=4$ 时为 $+2^7$。 其中的指数部分为以 1 为首项、2 为公差的等差数列，通项为 $2n-1$；正负号随 $n$ 的奇偶性交替，可表示为 $(-1{)}^n$。 综合两部分的规律，一般化结论的右侧表达式为： $2^{4n-1}+(-1{)}^n{2}^{2n-1}$

答案为：$2^{4n-1}+(-1{)}^n{2}^{2n-1}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由特殊到一般的归纳推理、等差数列通项公式的提炼。

2. 核心方法：分块观察法。将复杂的复合代数式拆解为基底、指数、符号等单一维度分别寻找递推步长。

3. 避坑指南：在处理正负号交替时，极易将 $(-1{)}^n$ 误写为 $(-1{)}^{n-1}$。应将 $n=1$ 代入检验，确保首项符号为负，从而排除干扰。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有深厚的二项式定理复数形式展开背景。通过在 $(1+x{)}^{4n+1}$ 中分别代入 $x=1,-1,i,-i$ 并进行线性组合，利用单位根的反演性质即可严格证明此组合数公式。

2. 结论推广: 本题所述结论等价于：${\sum }_{k=0}^n{\text{C}}_{4n+1}^{4k+1}=2^{4n-1}+(-1{)}^n{2}^{2n-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合