2009-湖北卷理-05 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合、分组分配问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为 ()

A. 18　　　　　　　B. 24　　　　　　　C. 30　　　　　　　D. 36

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首先计算 4 名学生分配到 3 个不同班级且每班至少 1 人的总分配方案数（先分组后排列）。
2. 计算其中甲、乙两人恰好被分配到同一个班级的方案数。
3. 用总方案数减去不合题意的方案数即得结果。

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C

✍【详细解析】

Abstract

将 4 名不同学生分配到 3 个不同的班级且每班至少 1 人，必有一个班级有 2 人，其余两班各 1 人。 不考虑限制条件，先将 4 人分为 $2+1+1$ 的三组，分组方法有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种； 再将这三组全排列分到 3 个不同的班级，总分法有 $6\times {\mathrm{A}}_3^3=36$ 种。 若甲、乙两名学生恰好分在同一个班，则他们必须结成包含 2 人的那一组，此时分组方法只有 1 种（即 $\{\text{甲, 乙}\},\{\text{丙}\},\{\text{丁}\}$）； 再将这三组全排列分到 3 个不同的班级，不合题意的分法有 $1\times {\mathrm{A}}_3^3=6$ 种。 故满足条件的不同分法种数为 $36-6=30$ 种。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合中的“分组分配”模型及含有排他性条件的计数方法。
2. 核心方法：间接排除法（正难则反）。
3. 避坑指南：在第一步分组时，由于组的规模有两个 1，容易错误地重复计数写成 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^1/{\mathrm{A}}_2^2$，注意这里的 6 是单纯的组合分组数。用间接法时需确保排除的集合无重无漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中经典的“名额/人员分配”问题，通过增加“两特定元素不同组”的限制提升思维量。
2. 结论推广：将 $m$ 个不同元素分配到 $n$ 个不同的位置（$m>n$且每位置至少一个），若其中两个特定元素不能在同一位置，一般可采用总分配数 $S(m,n)n!$ 减去将该两元素视为一体后的分配数 $S(m-1,n)n!$ 进行计算（其中 $S(m,n)$ 为第二类斯特林数）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用