2009-湖北卷理-07 单-椭圆

本题导读

本题考查双曲线的几何性质（准线）、椭圆的几何性质（焦点），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ 的准线过椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点，则直线 $y=kx+2$ 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ()

A. $k\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$　　　　　　　　　　　　B. $k\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

C. $k\in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　　　　　　　　　　D. $k\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线方程求出其准线方程。
2. 根据准线过椭圆焦点的条件，确定椭圆的半焦距 $c$，进而求出 $b^2$。
3. 将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式 $\Delta \le 0$（对应至多一个交点，即相切或相离）求出 $k$ 的取值范围。

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

对于双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，有 $a^2=2,b^2=2$，则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=2$。 其准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{2}{2}=\pm 1$。 因为准线过椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点，且准线垂直于 $x$ 轴，所以椭圆焦点在 $x$ 轴上，其半焦距 $c_{\text{椭}}=1$。 对椭圆有 $a^2=4$，则 $b^2=a^2-c_{\text{椭}}^2=4-1=3$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。 直线 $y=kx+2$ 与椭圆至多有一个交点，即直线与椭圆相切或相离，对应的联立方程判别式 $\Delta \le 0$。 联立方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}$ 化简得：$3x^2+4(kx+2{)}^2-12=0⟹(3+4k^2)x^2+16kx+4=0$。 令 $\Delta =(16k{)}^2-4(3+4k^2)\times 4\le 0$ $256k^2-16(3+4k^2)\le 0⟹256k^2-48-64k^2\le 0⟹192k^2\le 48⟹k^2\le \frac{1}{4}$。 解得 $-\frac{1}{2}\le k\le \frac{1}{2}$，即 $k\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$。 答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的标准方程与其几何性质（焦点、准线），直线与圆锥曲线的位置关系判定。
2. 核心方法：代数代入与一元二次方程判别式法。
3. 避坑指南：注意不同版本教材中双曲线准线的定义。在处理“至多有一个交点”时，要看清直线恒过定点 $(0,2)$ 是否在椭圆内部或外部，若在外部，则 $\Delta \le 0$ 包含相切与相离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中双曲线和椭圆基本量（$a,b,c$）的交织转化，结合直线与曲线交点个数的经典代数判别。
2. 结论推广：对于中心在原点的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，恒过点 $(0,m)$（其中 $m>b$）的直线 $y=kx+m$ 与其至多有一个交点的充要条件为 $k^2\le \frac{m^2-b^2}{a^2}$。本题代入 $a^2=4,b^2=3,m=2$ 同样可得 $k^2\le \frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线
• 2011-浙江卷理-08 单-椭圆双曲线
• 2012-山东卷理-10 单-椭圆与双曲线