2009-湖北卷理-08 单-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划问题、整数规划问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可装洗衣机 10 台，若每辆至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ()

A. 2000 元　　　B. 2200 元　　　C. 2400 元　　　D. 2800 元

🔍【思路分析】

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1. 设甲、乙两型货车分别使用的车辆数为 $x,y$，根据题目限制列出不等式组（约束条件）。
2. 写出总运输费用的表达式（目标函数）。
3. 结合 $x,y$ 必须为整数的特点，在可行域内寻找使目标函数最小的整数点。

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B

✍【详细解析】

Abstract

设调用甲型货车 $x$ 辆，乙型货车 $y$ 辆，总运输费用为 $W$ 元。 由题意，约束条件为： $\{\begin{array}{l}20x+10y\ge 100\\ 0\le x\le 4,x\in \mathbf{Z}\\ 0\le y\le 8,y\in \mathbf{Z}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x+y\ge 10\\ 0\le x\le 4\\ 0\le y\le 8\end{array}$ 目标函数为 $W=400x+300y$。 由 $2x+y\ge 10⟹y\ge 10-2x$。由于 $x\le 4$，可以对 $x$ 的可能整数值进行穷举讨论：

• 当 $x=4$ 时，$y\ge 10-8=2$，为了让 $W$ 最小，取 $y=2$，此时 $W=400\times 4+300\times 2=2200$ 元；
• 当 $x=3$ 时，$y\ge 10-6=4$，取 $y=4$，此时 $W=400\times 3+300\times 4=2400$ 元；
• 当 $x=2$ 时，$y\ge 10-4=6$，取 $y=6$，此时 $W=400\times 2+300\times 6=2600$ 元；
• 当 $x=1$ 时，$y\ge 10-2=8$，取 $y=8$，此时 $W=400\times 1+300\times 8=2800$ 元；
• 当 $x=0$ 时，$y\ge 10$，与 $y\le 8$ 矛盾，无解。 比较所有可行整数点的费用，最低运输费用为 2200 元。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的实际应用（应用题建模），整数规划的最优解。
2. 核心方法：不等式组建模与边界离散赋值法。
3. 避坑指南：切忌忽略 $x,y$ 的整数限制而直接求交点（因为交点可能非整数）；另外，从单台运输成本看，甲车性价比更高（每台成本 $400/20=20$ 元，乙车每台 $300/10=30$ 元），故在决策上应优先选用甲车。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于运筹学中经典的资源分配与物流调度模型，属于高考数学中强调“数学建模核心素养”的典型题。
2. 结论推广：在类似运输优化问题中，若两种运输工具的单位运载成本不同（本题中甲型 $20$ 元/台 $<$ 乙型 $30$ 元/台），在满足总量要求且容量限制允许的前提下，应最大化利用单位成本低（性价比高）的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-四川卷文-10 单-线性规划实际应用
• 2011-四川卷理-09 单-线性规划