2009-湖北卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数学期望。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2, 3, 4, 5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3, 4, 5, 6. 现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 $x$；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 $y$，记随机变量 $\eta =x+y$，求 $\eta$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由两盒子中卡片的数字，确定随机变量 $\eta =x+y$ 的所有可能取值。
2. 利用古典概型分别计算 $\eta$ 取各个值时的概率，进而列出分布列。
3. 运用离散型随机变量数学期望的定义式或数学期望的线性性质计算出 $E(\eta )$。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

设第一个盒子中的数字为 $x\in \{2,3,4,5\}$，第二个盒子中的数字为 $y\in \{3,4,5,6\}$。 从两个盒子中各任取一张卡片，基本事件总数为 $4\times 4=16$ 种。 随机变量 $\eta =x+y$ 的所有可能取值为：5, 6, 7, 8, 9, 10, 11。

计算各个取值对应的概率：

• 当 $\eta =5$ 时，满足 $x+y=5$ 的基本事件有：$(2,3)$，共 1 种，故 $P(\eta =5)=\frac{1}{16}$；
• 当 $\eta =6$ 时，满足 $x+y=6$ 的基本事件有：$(2,4),(3,3)$，共 2 种，故 $P(\eta =6)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$；
• 当 $\eta =7$ 时，满足 $x+y=7$ 的基本事件有：$(2,5),(3,4),(4,3)$，共 3 种，故 $P(\eta =7)=\frac{3}{16}$；
• 当 $\eta =8$ 时，满足 $x+y=8$ 的基本事件有：$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)$，共 4 种，故 $P(\eta =8)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
• 当 $\eta =9$ 时，满足 $x+y=9$ 的基本事件有：$(3,6),(4,5),(5,4)$，共 3 种，故 $P(\eta =9)=\frac{3}{16}$；
• 当 $\eta =10$ 时，满足 $x+y=10$ 的基本事件有：$(4,6),(5,5)$，共 2 种，故 $P(\eta =10)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$；
• 当 $\eta =11$ 时，满足 $x+y=11$ 的基本事件有：$(5,6)$，共 1 种，故 $P(\eta =11)=\frac{1}{16}$。

所以，$\eta$ 的分布列为：

$\eta$	5	6	7	8	9	10	11
$P$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$

计算 $\eta$ 的数学期望： 方法一（定义法）： $E(\eta )=5\times \frac{1}{16}+6\times \frac{2}{16}+7\times \frac{3}{16}+8\times \frac{4}{16}+9\times \frac{3}{16}+10\times \frac{2}{16}+11\times \frac{1}{16}$ $E(\eta )=\frac{5+12+21+32+27+20+11}{16}=\frac{128}{16}=8$

方法二（性质法）： 由于 $x,y$ 均服从离散均匀分布， $E(x)=\frac{2+3+4+5}{4}=\frac{7}{2}$， $E(y)=\frac{3+4+5+6}{4}=\frac{9}{2}$。 根据期望的线性性质 $E(x+y)=E(x)+E(y)$，可得： $E(\eta )=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}=8$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的概率计算，随机变量分布列的表格绘制，离散型随机变量期望的求解。
2. 核心方法：双变量求和的穷举法（可以借助坐标法或表格进行计数）。
3. 避坑指南：穷举组合时切忌丢三落四，列完分布列后必须通过“各取值概率之和是否为 1”进行自我检验；第二步计算期望时，利用分布列关于 $\eta =8$ 对称的特点或直接应用 $E(x+y)=E(x)+E(y)$ 可以大幅减少运算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于概率论中两个独立随机变量之和的分布（初等离散卷积）。
2. 结论推广：若随机变量 $X,Y$ 分别在具有相同步长的等差数列集合中服从均匀分布，则随机变量 $Z=X+Y$ 的概率分布图像呈现对称的帐篷状（或称三角形分布），其期望值恒等于 $E(X)+E(Y)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望