2009-湖北卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质、空间向量的坐标运算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，$SD\perp$ 平面 $ABCD$，$SD=2a$，$AD=\sqrt{2}a$，点 $E$ 是 $SD$ 上的点，且 $DE=\lambda a$（$0<\lambda \le 2$）.

(1) 求证：对任意的 $\lambda \in (0,2]$，都有 $AC\perp BE$；

(2) 设二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $\theta$，直线 $BE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 $\phi$.若 $\tan \theta \cdot \tan \phi =1$，求 $\lambda$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由于底面是正方形，容易得到 $AC\perp BD$。又 $SD\perp$ 平面 $ABCD$，易得 $AC\perp SD$。从而证明 $AC\perp$ 平面 $SBD$，进而得出 $AC\perp BE$。
2. 第二问：以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系。通过几何射影关系易求出 $\tan \phi$；利用平面的法向量夹角公式计算出 $\cos \theta$ 并化为 $\tan \theta$，代入条件方程求解 $\lambda$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以其对角线 $AC\perp BD$。 又因为 $SD\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AC\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $AC\perp SD$。 因为 $BD\cap SD=D$，且 $BD,SD\subset$ 平面 $SBD$， 所以 $AC\perp$ 平面 $SBD$。 因为对任意的 $\lambda \in (0,2]$，点 $E$ 都在 $SD$ 上，从而 $BE\subset$ 平面 $SBD$， 所以 $AC\perp BE$ 恒成立。

(2) 解： 以 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DS}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。 则各点坐标为： $D(0,0,0)$, $A(\sqrt{2}a,0,0)$, $C(0,\sqrt{2}a,0)$, $B(\sqrt{2}a,\sqrt{2}a,0)$, $E(0,0,\lambda a)$。

首先求 $\tan \phi$： 因为 $SD\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $E$ 在底面 $ABCD$ 上的投影为 $D$。 则直线 $BE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角 $\phi =\angle EBD$。 在 $\text{Rt}△EDB$ 中，$ED=\lambda a$，$BD=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=2a$， 所以 $\tan \phi =\frac{ED}{BD}=\frac{\lambda a}{2a}=\frac{\lambda }{2}$。

其次求 $\tan \theta$： 平面 $AED$ 即为 $xDz$ 平面，其法向量可取为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。 设平面 $CAE$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$。 由 $\overrightarrow{AC}=(-\sqrt{2}a,\sqrt{2}a,0)$，$\overrightarrow{AE}=(-\sqrt{2}a,0,\lambda a)$，得： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AC}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}ax+\sqrt{2}ay=0\\ -\sqrt{2}ax+\lambda az=0\end{array}$ 令 $x=\lambda$，则 $y=\lambda$，$z=\sqrt{2}$。 所以 ${\mathbf{n}}_2=(\lambda ,\lambda ,\sqrt{2})$。 二面角 $C-AE-D$ 的大小为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\lambda }{1\cdot \sqrt{{\lambda }^2+{\lambda }^2+2}}=\frac{\lambda }{\sqrt{2{\lambda }^2+2}}$ 因为 $\theta$ 为锐角，则 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{\frac{{\lambda }^2+2}{2{\lambda }^2+2}}$。 所以 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\sqrt{{\lambda }^2+2}}{\lambda }$。

由题意 $\tan \theta \cdot \tan \phi =1$，代入得： $\frac{\sqrt{{\lambda }^2+2}}{\lambda }\cdot \frac{\lambda }{2}=1⟹\sqrt{{\lambda }^2+2}=2$ 两边平方得 ${\lambda }^2+2=4⟹{\lambda }^2=2$。 因为 $0<\lambda \le 2$，所以 $\lambda =\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质定理（面内任意线都垂直）、利用法向量求解二面角、几何直角三角形处理特殊线面角。
2. 核心方法：传统几何法论证垂直，空间向量坐标法量化空间角。
3. 避坑指南：计算 $\tan \phi$ 时，直接利用 $△EDB$ 几何法比全套用向量公式更简洁高效；求得 $\cos \theta$ 后要细心转化为 $\tan \theta$，避免公式替换出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中四棱锥结合柱体侧棱垂直底面的经典构型，主要考查立体几何大题的标准建系与多角度动态关联。
2. 结论推广：在底面为正方形且侧棱垂直于底面的锥体中，对角线面（如平面 $SBD$）往往是整个图形的对称中心面，垂直于另一条底面对角线，这一几何性质在处理动态点 $E$ 时极其稳定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角