2009-湖北卷理-19 解-等差数列

本题导读

本题考查$S_n$与$a_n$的递推关系、等差数列的证明与通项。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=-a_n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+2$ （$n$ 为正整数）.

(1) 令 $b_n=2^n{a}_n$，求证数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $c_n=\frac{n+1}{n}{a}_n$，$T_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$，试比较 $T_n$ 与 $\frac{5n}{2n+1}$ 的大小，并予以证明.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用 $S_1=a_1$ 求出首项；对 $n\ge 2$ 联立 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 作差消去 $S_n$，整理出关于 $a_n$ 的递推式，两侧同乘 $2^{n-1}$ 即可显化为 $b_n-b_{n-1}=d$ 的形式。
2. 第二问：将 $a_n$ 代入得到 $c_n=\frac{n+1}{2^n}$，利用经典的错位相减法求出前 $n$ 项和 $T_n$ 的具体表达式。将 $T_n$ 与 $\frac{5n}{2n+1}$ 作差或变形简化，通过对 $n$ 的小取值进行试验寻找临界点，并分情况进行严格证明。

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大小关系结论为：当 $n=1$ 或 $n=2$ 时，$T_n<\frac{5n}{2n+1}$；当 $n\ge 3$ 时，$T_n>\frac{5n}{2n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明与求解： 当 $n=1$ 时，$S_1=a_1=-a_1-1+2⟹2a_1=1⟹a_1=\frac{1}{2}$。 由于 $b_n=2^n{a}_n$，则 $b_1=2\times \frac{1}{2}=1$。 当 $n\ge 2$ 时，由 $S_n=-a_n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+2$ 可得： $S_{n-1}=-a_{n-1}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}+2$ 两式相减得： $a_n=S_n-S_{n-1}=-a_n+a_{n-1}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$ 整理得：$2a_n=a_{n-1}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。 两边同乘以 $2^{n-1}$ 得： $2^n{a}_n=2^{n-1}{a}_{n-1}+1⟹b_n=b_{n-1}+1(n\ge 2)$ 所以 $b_n-b_{n-1}=1$ 恒成立。 故 $\{b_n\}$ 是以 $b_1=1$ 为首项，公差 $d=1$ 的等差数列。 从而 $b_n=1+(n-1)\times 1=n$。 由于 $b_n=2^n{a}_n$，所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{n}{2^n}$。

(2) 解答与证明： 由题意，$c_n=\frac{n+1}{n}{a}_n=\frac{n+1}{n}\cdot \frac{n}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}$。 则 $T_n=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots +\frac{n+1}{2^n}$ ① $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}\text{(2)}$ ① - ② 得： $\frac{1}{2}{T}_n=1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n+1}{2^{n+1}}$ $\frac{1}{2}{T}_n=1+\frac{\frac{1}{4}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{2^{n+1}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{2^{n+1}}$ 两边同乘 2 得：$T_n=3-\frac{n+3}{2^n}$。

接下来比较 $T_n$ 与 $\frac{5n}{2n+1}$ 的大小： 分析可知：$T_n-\frac{5n}{2n+1}=3-\frac{5n}{2n+1}-\frac{n+3}{2^n}=\frac{6n+3-5n}{2n+1}-\frac{n+3}{2^n}=\frac{n+3}{2n+1}-\frac{n+3}{2^n}=(n+3)\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2^n}\right)$。 因为 $n$ 为正整数，所以 $n+3>0$。因此正负号完全取决于 $2^n$ 与 $2n+1$ 的大小关系：

• 当 $n=1$ 时，$2^1=2<2(1)+1=3$，此时 $T_1<\frac{5}{3}$；
• 当 $n=2$ 时，$2^2=4<2(2)+1=5$，此时 $T_2<2$；
• 当 $n=3$ 时，$2^3=8>2(3)+1=7$，此时 $T_3>\frac{15}{7}$。

用数学归纳法证明当 $n\ge 3$ 时，$2^n>2n+1$： ① 当 $n=3$ 时，$8>7$ 显然成立； ② 假设当 $n=k$ ($k\ge 3,k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 时命题成立，即 $2^k>2k+1$。 则当 $n=k+1$ 时：$2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(2k+1)=4k+2$。 要证 $4k+2>2(k+1)+1=2k+3$，即证 $2k-1>0$，因为 $k\ge 3$ 显然成立。 所以当 $n\ge 3$ 时，$2^n>2n+1$ 恒成立，从而 $\frac{1}{2n+1}>\frac{1}{2^n}$。

综上所述，大小关系结论为： 当 $n=1$ 或 $n=2$ 时，$T_n<\frac{5n}{2n+1}$； 当 $n\ge 3$ 时，$T_n>\frac{5n}{2n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用 $S_n$ 递推构造等差数列，等差比型混合数列的错位相减求和法，数列不等式的分段比较。
2. 核心方法：错位相减技术，数学归纳法证明基础指数不等式。
3. 避坑指南：在第(1)问中，作差法建立递推式后切勿忘记单独求出 $a_1$ 并代入检验；第(2)问错位相减计算极易在常数项及末尾项符号上出错，需严格对齐项数；比较大小时切忌想当然认为一种符号一贯到底，必须代入小整数进行分段观察。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“等差数列与等比数列的综合应用”习题，第(2)问的不等式最终收敛于对经典命题“当 $n\ge 3$ 时 $2^n>2n+1$”的考查。
2. 结论推广：形如 ${\sum }_{k=1}^n\frac{k+A}{2^k}$ 的数列，其求和结果均可表示为 $B-\frac{n+C}{2^n}$ 形式，其极限在 $n\to \infty$ 时为常数 $B$。本题利用其与有界分式函数 $\frac{5n}{2n+1}$ 的动态交织来拉大区分度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式