2009-湖南卷理-02 单-向量

本题导读

本题考查充分条件与必要条件、平面向量的共线，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 对于非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$，“$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$”是“$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证充分性：由 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$ 推导 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 是否平行。
2. 验证必要性：由 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ 举出反例，说明 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$ 是否必然成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$，则 $\mathbf{a}=-\mathbf{b}$。根据共线向量的定义，存在实数 $\nu =-1$ 使得 $\mathbf{a}=\nu \mathbf{b}$，故 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ 成立，充分性成立。 必要性：若 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，当 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为同向共线向量（例如 $\mathbf{a}=\mathbf{b}$）时，$\mathbf{a}+\mathbf{b}=2\mathbf{a}\ne 0$，故 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$ 不必然成立，必要性不成立。 综上，“$\mathbf{a}+\mathbf{b}=0$”是“$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$”的充分不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量平行的充要条件，充分、必要条件的判定。
2. 核心方法：定义推导法与特值反例法。
3. 避坑指南：注意“非零向量”这一前提。若包含零向量，零向量与任意向量平行，讨论会略有不同，但此处明确是非零向量，反例选取同向向量即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由教材中向量线性运算性质与常用逻辑用语组合而成的经典题型。
2. 结论推广：对于非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$，$\mathbf{a}=\kappa \mathbf{b}(\kappa \ne 0)$ 是 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ 的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心