2009-湖南卷理-06 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与平面区域、两条直线的夹角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 已知 $D$ 是由不等式组 $\{\begin{array}{l}x-2y\ge 0\\ x+3y\ge 0\end{array}$ 所确定的平面区域，则圆 $x^2+y^2=4$ 在区域 $D$ 内的弧长为 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{3\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制不等式组对应的平面区域 $D$，确定其是由两条过原点的直线所夹的扇形区域。
2. 计算这两条边界直线的斜率，利用夹角公式求出该区域在原点处的夹角（圆心角 $\alpha$）。
3. 根据圆的半径 $R$ 与圆心角 $\alpha$，利用弧长公式 $L=R\alpha$ 求解。

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B

✍【详细解析】

Abstract

不等式组对应的两条边界直线分别为 $l_1:x-2y=0⟹y=\frac{1}{2}x$，其斜率 $k_1=\frac{1}{2}$； $l_2:x+3y=0⟹y=-\frac{1}{3}x$，其斜率 $k_2=-\frac{1}{3}$。 平面区域 $D$ 满足 $y\le \frac{1}{2}x$ 且 $y\ge -\frac{1}{3}x$，结合直线的分布可知该区域位于第一、四象限内由 $l_1,l_2$ 围成的有界扇形区。

设这两条直线的夹角为 $\alpha$，根据两条直线的夹角公式： $\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|=\left|\frac{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}{1+\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{3}\right)}\right|=\left|\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}\right|=1$ 由于该区域内包含 $x$ 轴正半轴，明显 $\alpha$ 为锐角，所以 $\alpha =\frac{\pi }{4}$。 圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心为原点 $(0,0)$，半径 $R=2$。 因此，圆在区域 $D$ 内的弧长为： $L=R\cdot \alpha =2\times \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由二元一次不等式组判定平面区域，直线斜率与夹角的转换，圆的弧长计算。
2. 核心方法：数形结合法，代数坐标夹角法。
3. 避坑指南：确定区域时必须分清具体是哪一个夹角区域，可以通过带入特点（如 $(1,0)$）进行不等式组校验；两直线夹角公式分子带有绝对值，需结合图形走势判断是锐角还是钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中线性规划的可行域划分，并将其与平面几何中圆的弧长、圆心角性质做动态叠加。
2. 结论推广：对于任何顶点在原点的区域 $D$，其两边界直线斜率分别为 $k_1,k_2$，则半径为 $R$ 的同心圆在区域内的弧长为 $L=R\cdot \arctan \left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$（对于锐角夹角区域）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-四川卷文-10 单-线性规划实际应用
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