2009-湖南卷理-14 填-二面角

本题导读

本题考查球的性质与截面圆、点到平面的距离，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 在半径为 13 的球面上有 $A,B,C$ 三点，$AB=6,BC=8,CA=10$，则

(1) 球心到平面 $ABC$ 的距离为$\underline{}$;

(2) 过 $A,B$ 两点的大圆面与平面 $ABC$ 所成二面角为（锐角）的正切值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据 $△ABC$ 的边长判定其为直角三角形，求出其外接圆半径，再利用球心、截面圆心和球半径构成的直角三角形求出距离。
2. 第二问：作轴截面，利用三垂线定理找准二面角的平面角，通过直角三角形的边角关系求解正切值。

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，因为 $AB=6,BC=8,CA=10$，满足 $6^2+8^2=10^2$， 所以 $△ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的直角三角形。 其外接圆半径 $r=\frac{AC}{2}=5$。 设球心到平面 $ABC$ 的距离为 $d$，球半径 $R=13$，由球的截面性质得： $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$

(2) 设球心为 $O$，平面 $ABC$ 的外接圆圆心为 $M$，则 $M$ 为 $AC$ 的中点，且 $OM\perp$ 平面 $ABC$。 过 $A,B$ 两点的大圆面 $\alpha$ 必过球心 $O$，其与平面 $ABC$ 的交线为 $AB$。 过 $M$ 作 $MH\perp AB$ 于 $H$，连接 $OH$。 因为 $OM\perp$ 平面 $ABC$，由三垂线定理知 $OH\perp AB$。 所以 $\angle OHM$ 即为大圆面与平面 $ABC$ 所成二面角的平面角。 因为 $M$ 是 $AC$ 中点，且 $MH\perp AB,BC\perp AB⟹MH\parallel BC$， 所以 $MH=\frac{1}{2}BC=4$。 在 $\text{Rt}△OMH$ 中，$OM=12,MH=4$， 则该二面角正切值为： $\tan \angle OHM=\frac{OM}{MH}=\frac{12}{4}=3$ 答案：12 ； 3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球心到截面圆心的垂直关系，利用直角三角形外接圆心在斜边中点简化计算，二面角的平面角作法。
2. 核心方法：空间几何图形平面化（轴截面与直角三角形法）。
3. 避坑指南：大圆面是指过球心的平面，第二问中寻找二面角的线线垂直关系时，必须利用投影圆心 $M$ 的中位线特征，切勿找错垂直位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立体几何中经典的“球的截面与外接球”模型，通过直角三角形截面简化了空间垂线的寻找难度。
2. 结论推广：若球半径为 $R$，截面多边形外接圆半径为 $r$，过截面弦的大圆面与该截面面所成二面角为 $\theta$，弦心距为 $h$，则 $\tan \theta =\frac{\sqrt{R^2-r^2}}{h}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$12，3$

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-11 单-二面角
• 2011-四川卷理-15 填-球内接体