2011-四川卷理-15 填-球内接体

本题导读

本题考查球的内接几何体性质，以及圆柱的侧面积公式与球的表面积公式。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 如图，半径为 $R$ 的球 $O$ 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立轴截面几何关系：设内接圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。

• 轴截面矩形内接于球的大圆，由勾股定理得 $(2r{)}^2+h^2=(2R{)}^2⟹4r^2+h^2=4R^2$。

2. 构造圆柱侧面积表达式：

• 侧面积 $S_{\text{侧}}=2\pi rh=\pi \cdot (2r\cdot h)$。

3. 利用基本不等式求 $S_{\text{侧}}$ 的最大值：

• 由 $2r\cdot h⩽\frac{(2r{)}^2+h^2}{2}=\frac{4R^2}{2}=2R^2$，求得 $S_{\text{侧}}$ 的最大值。

4. 计算球的表面积 $S_{\text{球}}=4\pi R^2$，二者作差。

✅【答案】

点击查看答案

$2\pi R^2$

✍【详细解析】

Abstract

设球的内接圆柱底面半径为 $r$，高为 $h$。 作过球心 $O$ 且包含圆柱旋转轴的截面，截面是一个矩形内接于半径为 $R$ 的大圆。 矩形的两条邻边分别为圆柱底面直径 $2r$ 和圆柱高 $h$，矩形的对角线即为球的直径 $2R$。 由勾股定理可得： $(2r{)}^2+h^2=(2R{)}^2⟹4r^2+h^2=4R^2$ 圆柱的侧面积为： $S_{\text{侧}}=2\pi rh=\pi (2r\cdot h)$ 由基本不等式 $ab⩽\frac{a^2+b^2}{2}$，当且仅当 $a=b$ 时取等号： $2r\cdot h⩽\frac{(2r{)}^2+h^2}{2}=\frac{4R^2}{2}=2R^2$ 等号在且仅在 $2r=h$，即 $h=\sqrt{2}R,r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$ 时成立。 因此，内接圆柱侧面积的最大值为： $(S_{\text{侧}}{)}_{\max }=\pi \cdot 2R^2=2\pi R^2$

又球的表面积公式为： $S_{\text{球}}=4\pi R^2$ 所以，当圆柱侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为： $S_{\text{球}}-(S_{\text{侧}}{)}_{\max }=4\pi R^2-2\pi R^2=2\pi R^2$ 故答案为：$2\pi R^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球内接几何体的轴截面关系、均值不等式求乘积最值、球与圆柱表面积计算公式。
• 核心方法：
• 轴截面化归：将三维空间几何体的度量关系化归到过球心轴截面的二维矩形中；
• 均值不等式配凑：把 $2rh$ 看作 $(2r)$ 与 $h$ 的积，直接对应平方和 $4r^2+h^2$。
• 避坑指南：
• 题干问的是“球的表面积与圆柱的侧面积之差”，审题务必看清是“侧面积”还是“全面积”；
• 球表面积为 $4\pi R^2$，切勿记成球体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修二立体几何空间几何体的计算中，经典的球外接内切几何极值模型。
• 结论推广：在半径为 $R$ 的球内接圆柱中，当高与底面直径相等（即轴截面为正方形 $h=2r=\sqrt{2}R$）时，其侧面积取得最大值 $2\pi R^2$，恰好等于球表面积的一半。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值