2009-湖南卷理-19 解-不等式

本题导读

本题考查函数解析式的构建、基本不等式求最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$ 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算，一个桥墩的工程费用为 $256$ 万元，距离为 $x$ 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x})x$ 万元. 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 $y$ 万元.

(1)试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)当 $m=640$ 米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$ 最小？

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🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（建立函数解析式）： 设两端桥墩之间被新建桥墩等分为 $k$ 段，则每段长度为 $x=\frac{m}{k}$（$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。 新建桥墩个数为 $k-1$，总费用为新建桥墩费用与桥面费用之和，以此列出 $y$ 关于 $x$ 的解析式，并注明自变量的约束条件。

2. 第二步逻辑（求最值）： 将 $m=640$ 代入解析式，用等分数 $k$ 表达 $y$。利用三元均值不等式求出使得 $y$ 取得最小值的 $k$ 值，最后求出需新建的桥墩数 $k-1$。

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✅【答案】

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𝑦=256𝑚𝑥+𝑚√𝑥+2𝑚−256；当𝑚=640时，需新建9个桥墩.

✍【详细解析】

Abstract

（1）写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式 设两端的桥墩之间等距离划分为 $k$ 段（$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），则每段距离为 $x=\frac{m}{k}$ 米。 需新建桥墩个数为： $n=k-1=\frac{m}{x}-1$ 新建桥墩的工程总费用为： $256\left(\frac{m}{x}-1\right)\text{万元}$ 桥面工程总费用为： $k(2+\sqrt{x})x=\frac{m}{x}\cdot (2+\sqrt{x})x=m(2+\sqrt{x})\text{万元}$ 所以余下工程的总费用 $y$ 为： $y=256\left(\frac{m}{x}-1\right)+m(2+\sqrt{x})=\frac{256m}{x}+m\sqrt{x}+2m-256$ 自变量 $x$ 的取值条件为： $x=\frac{m}{k}(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

（2）当 $m=640$ 米时，求使 $y$ 最小的新建桥墩数 将 $m=640$ 代入函数关系式，并由 $x=\frac{640}{k}$ 可得： $y=256(k-1)+640\left(2+\sqrt{\frac{640}{k}}\right)$ $y=256k-256+1280+640\cdot \frac{8\sqrt{10}}{\sqrt{k}}$ $y=256k+\frac{5120\sqrt{10}}{\sqrt{k}}+1024(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 由于 $k>0$，利用三元均值不等式进行拆项放缩： $256k+\frac{5120\sqrt{10}}{\sqrt{k}}=256k+\frac{2560\sqrt{10}}{\sqrt{k}}+\frac{2560\sqrt{10}}{\sqrt{k}}$ $\ge 3\sqrt[3]{256k\cdot \frac{2560\sqrt{10}}{\sqrt{k}}\cdot \frac{2560\sqrt{10}}{\sqrt{k}}}=3\sqrt[3]{256\times 2560^2\times 10}$ 因为： $256\times 2560^2\times 10=2^8\times (2^9\times 5{)}^2\times 10=2^{26}\times 250=2^{27}\times 125$ 所以： $\sqrt[3]{2^{27}\times 125}=2^9\times 5=2560$ 进而得到： $256k+\frac{5120\sqrt{10}}{\sqrt{k}}\ge 3\times 2560=7680$ 等号成立当且仅当： $256k=\frac{2560\sqrt{10}}{\sqrt{k}}⟹k^{\frac{3}{2}}=10\sqrt{10}⟹k=10$ 因为 $10\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，所以当 $k=10$ 时，总费用 $y$ 取得最小值： $y_{\min }=7680+1024=8704\text{万元}$ 此时，需新建的桥墩数为： $n=k-1=9$ 答：需新建 $9$ 个桥墩才能使 $y$ 最小。

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💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：本题考查实际应用问题的数学建模，以及分式与根式混合型代数式的最值求解。
2. 核心方法：

• 等分辅助法：引入等分数 $k$ 作为辅助变量，使离散的整数自变量关系更为直观。
• 拆项均值法：在利用 $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$ 时，为了消除分母中的 $\sqrt{k}$，需将 $\frac{C}{\sqrt{k}}$ 拆成相等的两项，使乘积中自变量的次数完全抵消。

3. 避坑指南：

• 忽视实际背景中 $k$ 必须为正整数的隐含限制。若求得的等号成立条件不为整数，需通过单调性比较邻近整数的值。
• 容易混淆“等分段数 $k$”与“新建桥墩数 $n$”，两端已有桥墩时，新建数应为 $k-1$。

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📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题源自 2006 年湖北高考理科数学第 19 题。这是一道经典的优化设计问题，改编自高等数学中的微积分极值应用题，通过将连续变量限制在等分点 $x=\frac{m}{k}$ 处，巧妙地转化为考查初等数学中正整数变量的最值问题。

2. 结论推广： 若两端点相距 $m$ ，单个新建设施费用为 $P$，相邻设施间距为 $x$ 时区间费用为 $(A+B\sqrt{x})x$。 则总费用为： $y=Pk+B{m}^{\frac{3}{2}}{k}^{-\frac{1}{2}}+(Am-P)$ 设 $f(k)=Pk+\frac{Bm\sqrt{m}}{\sqrt{k}}$。 若不考虑 $k$ 的整数性限制，利用求导或三元均值不等式，当 $Pk=\frac{Bm\sqrt{m}}{2\sqrt{k}}$ 时取得理论最小值： $k=m{\left(\frac{B}{2P}\right)}^{\frac{2}{3}}$ 实际最佳等分数 $k$ 为该理论值附近的整数。

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🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明