2009-福建卷文-21 解-导数极值与公共点

本题导读

考查导数综合。(1) $b=2a-1$；(2) 按 $a<1$、$a=1$、$a>1$ 三类写单调区间；(3) $a=-1$ 时 $M\left(-1,\frac{5}{3}\right)$，$N(3,-9)$，线段 $MN$ 与曲线另有公共点 $\left(1,-\frac{11}{3}\right)$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx$，且 $f^{\prime }(-1)=0$.

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示 $b$；

(2) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(3) 令 $a=-1$，设函数 $f(x)$ 在 $x_1$，$x_2$（$x_1<x_2$）处取得极值，记点 $M(x_1,f(x_1))$，$N(x_2,f(x_2))$.证明：线段 $MN$ 与曲线 $f(x)$ 存在异于 $M$、$N$ 的公共点.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $f^{\prime }(x)=x^2+2ax+b$，代入 $f^{\prime }(-1)=0$ 得 $b=2a-1$。
2. (2) 代入后 $f^{\prime }(x)=(x+1)(x+2a-1)$，两根为 $-1$ 与 $1-2a$，按两者的大小分 $a<1$、$a=1$、$a>1$ 三类讨论。
3. (3) $a=-1$ 时 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x$，极值点 $x_1=-1$，$x_2=3$；写出直线 $MN$ 的方程。
4. 曲线与直线联立后三次式恰能因式分解，除去 $-1$、$3$ 两根还剩 $x=1\in (-1,3)$，该点在 $M$，$N$ 之间，即为所求公共点。

✅【答案】

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(1) $b=2a-1$；(2) 见解析；(3) 证明见解析，公共点为 $\left(1,-\frac{11}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $f^{\prime }(x)=x^2+2ax+b$ 及 $f^{\prime }(-1)=0$，得 $1-2a+b=0$，所以 $b=2a-1$。 (2) 代入上式，得 $f^{\prime }(x)=x^2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)$，其两个零点为 $-1$ 和 $1-2a$。 当 $a<1$ 时，$-1<1-2a$，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 和 $(1-2a,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-1,1-2a)$ 上单调递减； 当 $a=1$ 时，$f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2⩾0$，故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增； 当 $a>1$ 时，$1-2a<-1$，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1-2a)$ 和 $(-1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(1-2a,-1)$ 上单调递减。 (3) 当 $a=-1$ 时，由 (1) 得 $b=-3$，于是 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x$，且 $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3)$。 因此 $x_1=-1$，$x_2=3$，并且 $M\left(-1,\frac{5}{3}\right)$，$N(3,-9)$。 直线 $MN$ 的斜率为 $\frac{-9-\frac{5}{3}}{3-(-1)}=-\frac{8}{3}$， 所以其方程为 $y=-\frac{8}{3}x-1$。 联立曲线方程与直线方程，得 $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x=-\frac{8}{3}x-1$， 即 $x^3-3x^2-x+3=(x+1)(x-1)(x-3)=0$。 除去对应 $M$，$N$ 的根 $-1$，$3$，还得到 $x=1$，且 $1\in (-1,3)$， 所以曲线与线段 $MN$ 的公共点 $\left(1,-\frac{11}{3}\right)$ 异于 $M$，$N$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性、极值与曲线交点

核心方法：导数分解因式分类 + 直线与曲线联立因式分解

避坑指南：$f^{\prime }(x)=(x+1)(x+2a-1)$ 的两根 $-1$ 与 $1-2a$ 的大小随 $a$ 变，分 $a<1$、$a=1$、$a>1$ 三类；$a=-1$ 时联立 $MN$ 与曲线得 $(x+1)(x-1)(x-3)=0$，第三根 $x=1$ 落在 $M$、$N$ 之间即完成证明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参单调性讨论的分类标准是”根的大小”。

结论推广：$f^{\prime }$ 已是因式乘积时，分类看两因式零点谁大谁小。

方法推广：证”存在异于端点的公共点”：联立分解因式后，只需指出第三根在两根之间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立