2010-江西卷文-17 解-三次函数极值与单调性

本题导读

考查导数与极值单调。(1) 极值点是 $f^{\prime }(x)=0$ 的根，$x_1{x}_2=\frac{a}{9}=1$ 得 $a=9$；(2) $\Delta =36(a^2+4)>0$ 恒成立，不存在。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 设函数 $f(x)=6x^3+3(a+2)x^2+2ax$.

(1) 若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_1$，$x_2$，且 $x_1{x}_2=1$，求实数 $a$ 的值；

(2) 是否存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=18x^2+6(a+2)x+2a$。
2. (1) 极值点 $x_1$，$x_2$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的两根，韦达定理 $x_1{x}_2=\frac{2a}{18}=\frac{a}{9}=1$，得 $a=9$。
3. 检验：$a=9$ 时 $f^{\prime }(x)=6(3x^2+11x+3)$，$\Delta >0$ 有两异号间变号根，确为极值点。
4. (2) 单调 $⟺f^{\prime }(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上不变号 $⟺\Delta ⩽0$。而 $\Delta =36(a+2{)}^2-144a=36(a^2+4)>0$ 恒成立，故不存在。

✅【答案】

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(1) $a=9$

(2) 不存在这样的实数 $a$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=18x^2+6(a+2)x+2a$. (1) 若 $x_1$，$x_2$ 是 $f(x)$ 的两个极值点，则它们是 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个不等实根， 由韦达定理 $x_1{x}_2=\frac{2a}{18}=\frac{a}{9}.$ 由 $x_1{x}_2=1$ 得 $a=9$. 检验：$a=9$ 时 $f^{\prime }(x)=18x^2+66x+18=6(3x^2+11x+3)$，其判别式 $121-36>0$，确有两个不同实根且在根的两侧导数变号，故两极值点存在，$a=9$ 合题意. (2) $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调，当且仅当 $f^{\prime }(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上不变号，即 $f^{\prime }(x)=0$ 无两个不同实根，判别式 $\Delta =36(a+2{)}^2-4\times 18\times 2a=36\left[(a+2{)}^2-4a\right]=36(a^2+4).$ 因为 $a^2+4>0$ 对任意实数 $a$ 恒成立，所以 $\Delta >0$ 恒成立，$f^{\prime }(x)$ 恒有两个不同实根， $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上总有增有减，不可能单调. 故不存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的单调函数.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与极值、单调性判别

核心方法：极值点即 $f^{\prime }(x)=0$ 的根，韦达定理定参；单调性等价于导数不变号，判别式说话

避坑指南：$x_1{x}_2=\frac{2a}{18}$ 的分子分母别取错（对 $18x^2+6(a+2)x+2a$ 而言 $c/a$ 即 $\frac{2a}{18}$）；$\Delta =36(a^2+4)>0$ 恒成立意味着”恒有两个极值点”，单调性要求 $\Delta ⩽0$ 永远落空。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数 $f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Dx$ 的极值点存在性完全由导数判别式决定。

结论推广：导数二次式判别式恒正 $⟺$ 函数必有两个极值点、必不单调；恒负同理，这是三次函数单调性证明题的核心引理。

方法推广：韦达定理处理”极值点满足的对称式”（$x_1+x_2$、$x_1{x}_2$、$x_1^2+x_2^2$）是通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-辽宁卷文-15 填-导数极值定参
• 2011-广东卷文-19 解-导数含参单调
• 2009-福建卷文-21 解-导数极值与公共点