2009-福建卷理-11 填-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算、复数相等的条件，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 若 $\frac{2}{1-\text{i}}=a+b\text{i}$ ($\text{i}$ 为虚数单位， $a,b\in \mathbf{R}$)，则 $a+b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对已知等式左边的分式进行分母实数化处理。

2. 根据复数相等的充要条件对应求出实部 $a$ 与虚部 $b$ 的值并求和。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

对等式左边进行化简： $\frac{2}{1-\text{i}}=\frac{2(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\frac{2(1+\text{i})}{2}=1+\text{i}$. 因为 $a+b\text{i}=1+\text{i}$ 且 $a,b\in \mathbf{R}$， 所以 $a=1,b=1$， 则 $a+b=2$.

填：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法的运算法则及共轭复数的应用。

2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数实数化法。

3. 避坑指南：计算时注意 $(1-\text{i})(1+\text{i})=1-{\text{i}}^2=2$，防止符号失误算成 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的复数运算填空题，考查大纲中要求熟练掌握的复数代数标准形式转化。

2. 结论推广：对于一般的复数分式 $\frac{m}{1-\text{i}}$，化简后的代数形式恒为 $\frac{m}{2}+\frac{m}{2}\text{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算