2009-福建卷理-13 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的几何性质、抛物线的焦点弦长公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 过抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $45^{\circ }$ 的直线交抛物线于 $A$、 $B$ 两点，若线段 $AB$ 的长度为 8，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别抛物线标准方程，明确其右焦点弦长与倾斜角 $\theta$ 的通用关系式 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。

2. 将已知弦长 $|AB|=8$ 及倾斜角 $\theta =45^{\circ }$ 代入公式，直接建立关于参数 $p$ 的一元一次方程求解。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

对于抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$)，其过焦点的弦长公式为： $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$，其中 $\theta$ 为焦点直线的倾斜角。 将已知条件 $|AB|=8$ 且 $\theta =45^{\circ }$ 代入公式得： $8=\frac{2p}{{\sin }^{2}45^{\circ }}=\frac{2p}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{2p}{\frac{1}{2}}=4p$. 解得 $p=2$.

填：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点弦的几何性质与弦长表达。

2. 核心方法：焦点弦长极坐标推导公式的直接套用（相比联立方程法更高效）。

3. 避坑指南：切忌混淆抛物线不同开口方向的弦长公式，公式中的分母是 ${\sin }^2\theta$ 而不是 ${\cos }^2\theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自解析几何课本中抛物线焦点弦性质的课后探究题，主要测试几何性质的公式化速算。

2. 结论推广：过抛物线 $y^2=2px$ 焦点的通径（倾斜角为 $90^{\circ }$ 时的弦）长度为 $2p$；而当倾斜角为 $45^{\circ }$ 时，其弦长恒为通径长 的 2 倍，即 $4p$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点