2009-福建卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查集合的子集概念、古典概型与排列组合。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 从集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个.

(1) 记性质 $r$: 集合中的所有元素之和为 10, 求所取出的非空子集满足性质 $r$ 的概率；

(2) 记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$, 求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $\text{E}\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：先算出包含 5 个元素的集合的非空子集总数 $2^5-1=31$。接着用分类列举法找出元素之和为 10 的所有子集，利用古典概型概率公式求解。

2. 第二问：明确随机变量 $\xi$ 的所有可能取值（1, 2, 3, 4, 5）。利用组合数公式分别计算出各个取值对应的子集个数与概率，列出分布列并代入数学期望公式进行计算。

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满足性质 $r$ 的非空子集共有 $1+2=3$ 个，分别是 $\{1,2,3,4\}$， $\{1,4,5\}$， $\{2,3,5\}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 的非空子集总数共为 $2^5-1=32-1=31$ 个。 设满足性质 $r$（元素之和为 10）的子集为集合 $A$。用枚举法分类讨论如下：

• 若子集包含 4 个元素，只有 $\{1,2,3,4\}$ 满足元素和为 10；
• 若子集包含 3 个元素，有 $\{1,4,5\}$ 和 $\{2,3,5\}$ 满足元素和为 10；
• 若子集包含 1 个、2 个或 5 个元素，均不存在元素和为 10 的子集。 综上所述，满足性质 $r$ 的非空子集共有 $1+2=3$ 个，分别是 $\{1,2,3,4\}$， $\{1,4,5\}$， $\{2,3,5\}$。 故所求的概率为 $P=\frac{3}{31}$。

(2) 解： 由题意，所取出的非空子集的元素个数 $\xi$ 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4, 5。

• 当 $\xi =1$ 时，共有 ${\text{C}}_5^1=5$ 个子集，概率 $P(\xi =1)=\frac{5}{31}$；
• 当 $\xi =2$ 时，共有 ${\text{C}}_5^2=10$ 个子集，概率 $P(\xi =2)=\frac{10}{31}$；
• 当 $\xi =3$ 时，共有 ${\text{C}}_5^3=10$ 个子集，概率 $P(\xi =3)=\frac{10}{31}$；
• 当 $\xi =4$ 时，共有 ${\text{C}}_5^4=5$ 个子集，概率 $P(\xi =4)=\frac{5}{31}$；
• 当 $\xi =5$ 时，共有 ${\text{C}}_5^5=1$ 个子集，概率 $P(\xi =5)=\frac{1}{31}$。

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	1	2	3	4	5
$P$	$\frac{5}{31}$	$\frac{10}{31}$	$\frac{10}{31}$	$\frac{5}{31}$	$\frac{1}{31}$

故 $\xi$ 的数学期望为： $\text{E}\xi =1\times \frac{5}{31}+2\times \frac{10}{31}+3\times \frac{10}{31}+4\times \frac{5}{31}+5\times \frac{1}{31}$ $=\frac{5+20+30+20+5}{31}=\frac{80}{31}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含 $n$ 个元素集合的非空子集总数为 $2^n-1$；古典概型计算；超几何计数在分布列中的应用。

2. 核心方法：列举法（求特定和的子集）与组合数公式法（求特定元素个数的子集）。

3. 避坑指南：第(1)问枚举时容易漏掉满足条件的组合，应当按照元素个数由多到少或由大到小有序筛选；第(2)问计算期望时，注意分母为 31 而非总子集数 32（因明确限定在“非空”子集内抽取）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由高中教材中“子集个数规律”与“古典概型、随机变量”相结合而设计的一道综合概率解答题，着重考查概率模型的构建。

2. 结论推广：若从包含 $n$ 个元素的集合的非空子集中任取一个，其元素个数 $\xi$ 的数学期望通用公式为 $\text{E}\xi =\frac{n\cdot 2^{n-1}}{2^n-1}$。本题代入 $n=5$ 得 $\frac{5\times 16}{32-1}=\frac{80}{31}$，完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合