2009-辽宁卷文-14 填-正弦图象定omega

本题导读

考查读图定参。$x=\frac{\pi }{3}$ 处上升过零点、$x=\frac{2\pi }{3}$ 处达峰值，$\frac{T}{4}=\frac{\pi }{3}$，$T=\frac{4\pi }{3}$，$\omega =\frac{3}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$）的图象如图所示，则 $\omega =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图象在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处自下而上穿过 $x$ 轴，在 $x=\frac{2\pi }{3}$ 处取得最大值 $1$。
2. 相邻零点（上升）到相邻峰值水平距离为 $\frac{T}{4}$：$\frac{T}{4}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$，$T=\frac{4\pi }{3}$。
3. $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由图象，$f(x)$ 在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处的函数值为 $0$ 且图象上升，在 $x=\frac{2\pi }{3}$ 处取得最大值 $1$。 从上升零点到相邻最大值点，相位增加 $\frac{\pi }{2}$，即 $\omega \left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{2}$。 所以 $\omega \cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$，$\omega =\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的图象

核心方法：零点与峰值横坐标差 $=\frac{T}{4}$

避坑指南：从”上升零点”到”相邻最高点”横坐标差是 $\frac{T}{4}$；若图给的是下降零点则差为 $\frac{3T}{4}$ 或 $\frac{T}{4}$（看位置），看清再算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：读图定 $\omega$ 是三角小题高频题。

结论推广：相位差 $=$ 横坐标差 $\times \omega$：$\omega \left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{2}$。

方法推广：只求 $\omega$ 时不必定 $\phi$；若需 $\phi$，把峰值点 $\left(\frac{2\pi }{3},1\right)$ 代入即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-16 填-正弦图象定参求值
• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称