2009-新课标卷文-16 填-正弦图象定参求值

本题导读

考查由图象求 $f(7\pi /12)$。图中相邻两个同向零点相距 $\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\pi$，其间恰含 $1.5$ 个周期，得 $T=\frac{2\pi }{3}$、$\omega =3$，再定 $\phi$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$ 的图象如图所示，则 $f\left(\frac{7\pi }{12}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由图，$x=\frac{\pi }{4}$ 与 $x=\frac{5\pi }{4}$ 是相邻的同向（上升）零点，其间经历 $1.5$ 个周期，故 $\frac{3T}{2}=\pi$，$T=\frac{2\pi }{3}$，$\omega =3$。
2. 由 $x=\frac{\pi }{4}$ 处上升过零：$3\times \frac{\pi }{4}+\phi =2k\pi$，取 $\phi =-\frac{3\pi }{4}$。
3. 代入 $x=\frac{7\pi }{12}$ 计算。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由图象，$x=\frac{\pi }{4}$ 与 $x=\frac{5\pi }{4}$ 为相邻的两个上升零点，从 $\frac{\pi }{4}$ 到 $\frac{5\pi }{4}$ 图象经历 $1.5$ 个周期，故 $\frac{3T}{2}=\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow \omega =3.$ 在 $x=\frac{\pi }{4}$ 处图象上升穿过 $x$ 轴，故 $3\times \frac{\pi }{4}+\phi =2k\pi$，取 $\phi =-\frac{3\pi }{4}$，即 $f(x)=2\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)$。 于是 $f\left(\frac{7\pi }{12}\right)=2\sin \left(\frac{7\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}\right)=2\sin \pi =0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数图象与解析式

核心方法：由零点间距定 $T$，再定 $\omega$、$\phi$

避坑指南：两个相邻同向零点之间的”周期个数”要看清图象形状：本题间隔 $\pi$ 内含 $1.5$ 个周期，$T=\frac{2\pi }{3}$ 而非 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由图象求 $f(x_0)$ 是三角函数图象模块的核心题。

结论推广：$\omega =\frac{2\pi }{T}$；上升零点满足 $\omega x+\phi =2k\pi$。

方法推广：求出解析式后代值时用诱导公式化简，避免背错特殊值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参
• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质
• 2012-浙江卷文-06 单-三角函数图象变换