2009-辽宁卷文-15 填-导数极值定参

本题导读

考查导数与极值。$f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{a}{x^2}$，$f^{\prime }(1)=3-a=0$，得 $a=3$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 若函数 $f(x)=x^3+\frac{a}{x}+1$ 在 $x=1$ 处取极值，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{a}{x^2}$。
2. $x=1$ 处取极值 $\Rightarrow f^{\prime }(1)=0$：$3-a=0$，$a=3$（此时 $x=1$ 两侧 $f^{\prime }$ 变号，确为极值点）。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2-\frac{a}{x^2}$。 由 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取极值，得 $f^{\prime }(1)=0$，即 $3-a=0$，$a=3$。 验证：$a=3$ 时 $f^{\prime }(x)=\frac{3(x^4-1)}{x^2}$，在 $x=1$ 左侧 $f^{\prime }<0$、右侧 $f^{\prime }>0$，$x=1$ 为极小值点，符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与函数的极值

核心方法：极值点处 $f^{\prime }(x)=0$ 代入求参

避坑指南：求出 $a$ 后要回验：$f^{\prime }(x)=\frac{3(x^4-1)}{x^2}$ 在 $x=1$ 两侧变号才是极值点；$f^{\prime }=0$ 只是必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极值定参是导数填空的基础形态。

结论推广：${\left(x^3+\frac{a}{x}\right)}^{\prime }=3x^2-\frac{a}{x^2}$，两项分别求导。

方法推广：含分式项求导后通分：$f^{\prime }(x)=\frac{3x^4-a}{x^2}$，令分子为零最方便。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2011-浙江卷文-10 单-极值点与函数图象
• 2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布