2009-辽宁卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的除法运算，核心在于利用共轭复数将分母实数化。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 已知复数 $z=1-2\text{i}$, 那么 $\frac{1}{z}=$ ()

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{i}$　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{i}$　　C. $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\text{i}$　　D. $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入复数 $z$ 的代数形式。
2. 分子分母同乘分母的共轭复数进行化简。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z=1-2\text{i}$， 所以 $\frac{1}{z}=\frac{1}{1-2\text{i}}=\frac{1+2\text{i}}{(1-2\text{i})(1+2\text{i})}=\frac{1+2\text{i}}{1^2+2^2}=\frac{1+2\text{i}}{5}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\text{i}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的乘除运算。
2. 核心方法：分母实数化（分子分母同乘共轭复数）。
3. 避坑指南：计算分母 $(a-b\text{i})(a+b\text{i})$ 时，结果为 $a^2+b^2$ 而非 $a^2-b^2$，注意 ${\text{i}}^2=-1$。切勿错误选为以模长为分母的 A 或 B 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考常规的复数基础运算题。
2. 结论推广: 若 $z=a+b\text{i}$ ($z\ne 0$)，则其倒数 $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{a-b\text{i}}{a^2+b^2}$，可作为公式直接秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算