2009-辽宁卷理-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列片段和的性质。利用等比数列中每 $k$ 项的和（即片段和）仍构成等比数列这一性质，可以极大地简化运算。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\frac{S_6}{S_3}=3$，则 $\frac{S_9}{S_6}=$ ()

A. 2　　　　　　　B. $\frac{7}{3}$　　　　　　　C. $\frac{8}{3}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等比数列的性质，其前 $n$ 项的片段和 $S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$ 也构成等比数列。
2. 设 $S_3=x$，根据条件表示出 $S_6$ 及公比。
3. 推导出 $S_9$ 的表达式，最后求比值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，则 $S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$ 构成等比数列。 设 $S_3=x$（显然 $x\ne 0$）。 因为 $\frac{S_6}{S_3}=3$，所以 $S_6=3x$。 则片段和的第二项为 $S_6-S_3=3x-x=2x$。 该新等比数列的公比为 $\frac{2x}{x}=2$。 片段和的第三项为 $S_9-S_6=2x\times 2=4x$。 所以 $S_9=S_6+4x=3x+4x=7x$。 故 $\frac{S_9}{S_6}=\frac{7x}{3x}=\frac{7}{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列片段和成等比数列的性质。
2. 核心方法：整体构造法。
3. 避坑指南：注意构成新等比数列的项是 $S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$，切勿误认为是 $S_3,S_6,S_9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 考查等比数列求和公式的高效处理技巧。
2. 结论推广: 若等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k},\dots$ 构成等比数列（其中 $S_k\ne 0$ 且公比 $q\ne -1$）。同理，等差数列具有相似的等差性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件