2009-辽宁卷理-09 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用。利用偶函数性质将抽象的不等式转化为去符号的绝对值不等式是本题的破局核心。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 已知偶函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 单调增加, 则满足 $f(2x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)$ 的 $x$ 取值范围是 ()

A. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　B. $\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　C. $\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$　　　D. $\left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 利用偶函数的对称性质 $f(x)=f(|x|)$，将不等式中的自变量全部转化到单调递增的非负区间 $[0,+\infty )$ 上。
2. 根据单调递增性质脱去函数符号 $f$，转化为绝对值不等式。
3. 解该绝对值不等式求出 $x$ 的范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是偶函数，所以对定义域内任意 $x$ 有 $f(x)=f(|x|)$。 不等式 $f(2x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)$ 可等价转化为 $f(|2x-1|)<f\left(\left|\frac{1}{3}\right|\right)$。 又已知 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上单调增加，且 $|2x-1|⩾0$, $\left|\frac{1}{3}\right|⩾0$， 所以 $|2x-1|<\frac{1}{3}$。 解该绝对值不等式，得： $-\frac{1}{3}<2x-1<\frac{1}{3}$ 各项同加 1，得 $\frac{2}{3}<2x<\frac{4}{3}$。 各项同除以 2，得 $\frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性与单调性，解绝对值不等式。
2. 核心方法：利用 $f(x)=f(|x|)$ 将自变量统一映射到具有明确单调性的对称半轴上，即 $f(x_1)<f(x_2)⟺|x_1|<|x_2|$（当 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 递增时）。
3. 避坑指南：切不可在未取绝对值的情况下直接脱去 $f$ 符号写出 $2x-1<\frac{1}{3}$，因为 $2x-1$ 的正负性未知，必须借助偶函数的绝对值特性进行转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抽象函数不等式求解的高频经典模型。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 为偶函数，在 $(0,+\infty )$ 单调递增，则 $f(A)<f(B)⟺|A|<|B|⟺A^2<B^2$。平方法有时比绝对值法展开更为直接。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明