2009-辽宁卷理-18 解-面面垂直

本题导读

本题考查立体几何中的线面角求解和异面直线的判定。第(1)问通过建立空间直角坐标系，将线面角的正弦值转化为直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解；第(2)问要求用反证法证明两直线异面，考查推理论证的严密性。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 如图，已知两个正方形 $ABCD$ 和 $DCEF$ 不在同一平面内，$M,N$ 分别为 $AB,DF$ 的中点.

(1) 若平面 $ABCD\perp$ 平面 $DCEF$，求直线 $MN$ 与平面 $DCEF$ 所成角的正弦值；

(2) 用反证法证明：直线 $ME$ 与 $BN$ 是两条异面直线.

🔍【思路分析】

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1. 对于第(1)问，根据面面垂直的性质，在 $D$ 点建立两两垂直的空间直角坐标系。设出正方形边长，写出 $M,N$ 的坐标并求出向量 $\overrightarrow{MN}$，平面的法向量为坐标轴方向，直接求线面角正弦值。
2. 对于第(2)问，按照反证法步骤，先假设 $ME$ 与 $BN$ 共面。由此推导出四个顶点 $M,E,B,N$ 共面，结合 $M,N$ 分别为中点，推出与“两个正方形不在同一平面内”这一已知条件相矛盾，从而证毕。

✅【答案】

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（1）√63.（2）直线𝑀𝐸与𝐵𝑁是异面直线.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $DCEF$，且 $CD$ 是它们的交线， 在正方形 $ABCD$ 中，$AD\perp CD$，所以 $AD\perp$ 平面 $DCEF$。 又在正方形 $DCEF$ 中，$DF\perp CD$。 以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DF}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DA}$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 设正方形的边长为 2，则： $D(0,0,0)$，$C(0,2,0)$，$F(2,0,0)$，$E(2,2,0)$，$A(0,0,2)$，$B(0,2,2)$。 因为 $M,N$ 分别为 $AB,DF$ 的中点， 所以 $M(0,1,2)$，$N(1,0,0)$。 故 $\overrightarrow{MN}=(1,-1,-2)$。 因为 $z$ 轴垂直于平面 $DCEF$，所以平面 $DCEF$ 的一个法向量可取为 $\mathbf{n}=(0,0,1)$。 设直线 $MN$ 与平面 $DCEF$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{MN},\mathbf{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{MN}||\mathbf{n}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}\times 1}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 所以直线 $MN$ 与平面 $DCEF$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

(2) 证明： 假设直线 $ME$ 与 $BN$ 共面，设它们共处于平面 $\alpha$ 内。 则 $M,E,B,N\in \alpha$。 因为 $B,M\in \alpha$，且 $M$ 为 $AB$ 的中点，所以直线 $AB\subset \alpha$，从而 $A\in \alpha$。 因为 $E,N\in \alpha$，且 $N$ 为 $DF$ 的中点， 所以直线 $EN$（即直线 $EF$，因为 $E,N,F$ 三点共线）在平面 $\alpha$ 内，从而 $F\in \alpha$。 所以点 $A,B,C,D,E,F$ 都在平面 $\alpha$ 内。 这说明正方形 $ABCD$ 和 $DCEF$ 在同一个平面内，这与已知条件“两个正方形 $ABCD$ 和 $DCEF$ 不在同一平面内”矛盾。 所以假设不成立，即直线 $ME$ 与 $BN$ 是两条异面直线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用空间向量求解线面角，反证法的严密逻辑论证。
2. 核心方法：

• 建系坐标法处理线面、二面角。
• 反证法判定异面直线：假设共面 $⟹$ 导出所有关键点共面 $⟹$ 与已知矛盾。

3. 避坑指南：第(2)问反证法表述时，必须严格说明“若两点在平面内，则两点连线上所有点均在平面内”这一平面的基本性质（公理），以此作为推导各顶点共面的理论支撑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的立体几何综合题，由折叠模型或双正方形垂直模型演变而来。
2. 结论推广: 证明异面直线的两条通路：一是反证法（如本题），二是利用“过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”这一判定定理（即三点共面、一点在面外的模型）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直