2009-辽宁卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解以及直线与椭圆相交中的定值证明。第一问利用焦点坐标和过定点代入法直接求解；第二问通过设出对称斜率的两条直线，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出动点坐标，进而计算出直线斜率并证明其为定值。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 已知椭圆 $C$ 过点 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$, 两个焦点为 $(-1,0)$, $(1,0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程;

(2) $E,F$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点, 如果直线 $AE$ 的斜率与 $AF$ 的斜率互为相反数, 证明直线 $EF$ 的斜率为定值, 并求出这个定值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对于第(1)问，根据两个焦点坐标可知椭圆焦点在 $x$ 轴上且 $c=1$，设出标准方程。将点 $A$ 的坐标代入，结合 $a^2=b^2+c^2=b^2+1$ 求解 $b^2$ 和 $a^2$。
2. 对于第(2)问，设直线 $AE$ 的斜率为 $k$，则直线 $AF$ 的斜率为 $-k$。写出直线 $AE,AF$ 的方程，分别与椭圆方程联立。
3. 利用韦达定理求得点 $E,F$ 的横、纵坐标关于 $k$ 的表达式，进而表示出直线 $EF$ 的斜率 $k_{EF}=\frac{y_E-y_F}{x_E-x_F}$，化简证明该值不依赖于 $k$。

✅【答案】

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$（1）x24+y23=1.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为焦点为 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，所以椭圆焦点在 $x$ 轴上且半焦距 $c=1$。 设椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。 又因为 $a^2=b^2+c^2=b^2+1$。 将点 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 代入椭圆方程，得： $\frac{1}{b^2+1}+\frac{9}{4b^2}=1$ 去分母化简，得： $4b^2+9(b^2+1)=4b^2(b^2+1)$ $4b^4-9b^2-9=0$ 解得 $b^2=3$ 或 $b^2=-\frac{3}{4}$ (舍去)。 所以 $a^2=b^2+1=4$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

(2) 证明： 由 (1) 知，$A\left(1,\frac{3}{2}\right)$，椭圆方程为 $3x^2+4y^2=12$。 设直线 $AE$ 的斜率为 $k$ ($k\ne 0$)，则直线 $AF$ 的斜率为 $-k$。 直线 $AE$ 的方程为 $y-\frac{3}{2}=k(x-1)$，即 $y=k(x-1)+\frac{3}{2}$。 联立直线 $AE$ 与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)+\frac{3}{2}\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}$ 代入消去 $y$，化简得： $(3+4k^2)x^2+4k(3-2k)x+(2k-3{)}^2-12=0$ 因为点 $A$ 的横坐标 $x_A=1$ 是该方程的一个根，设点 $E(x_E,y_E)$，由韦达定理： $1\cdot x_E=\frac{(2k-3{)}^2-12}{3+4k^2}=\frac{4k^2-12k-3}{3+4k^2}$ 即 $x_E=\frac{4k^2-12k-3}{3+4k^2}$。 将其代入直线 $AE$ 的方程得： $y_E=k(x_E-1)+\frac{3}{2}=k\left(\frac{4k^2-12k-3}{3+4k^2}-1\right)+\frac{3}{2}=\frac{-12k^2-6k}{3+4k^2}+\frac{3}{2}=\frac{-12k^2-12k+9}{2(3+4k^2)}$。

因为直线 $AF$ 的斜率为 $-k$，将上述式子中的 $k$ 换为 $-k$，即可得到点 $F(x_F,y_F)$ 的坐标： $x_F=\frac{4(-k{)}^2-12(-k)-3}{3+4(-k{)}^2}=\frac{4k^2+12k-3}{3+4k^2}$， $y_F=\frac{-12(-k{)}^2-12(-k)+9}{2(3+4k^2)}=\frac{-12k^2+12k+9}{2(3+4k^2)}$。

现在计算直线 $EF$ 的斜率 $k_{EF}$： $x_E-x_F=\frac{(4k^2-12k-3)-(4k^2+12k-3)}{3+4k^2}=\frac{-24k}{3+4k^2}$， $y_E-y_F=\frac{(-12k^2-12k+9)-(-12k^2+12k+9)}{2(3+4k^2)}=\frac{-24k}{2(3+4k^2)}=\frac{-12k}{3+4k^2}$。 所以，直线 $EF$ 的斜率为： $k_{EF}=\frac{y_E-y_F}{x_E-x_F}=\frac{\frac{-12k}{3+4k^2}}{\frac{-24k}{3+4k^2}}=\frac{-12k}{-24k}=\frac{1}{2}$。 因为 $k_{EF}=\frac{1}{2}$ 是不依赖于 $k$ 的常数， 所以直线 $EF$ 的斜率为定值，该定值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，对称斜率性质应用。
2. 核心方法：

• 韦达定理降维法：由已知交点 $x_A=1$，利用两根之积 $x_A\cdot x_E=\frac{C}{A}$ 直接写出 $x_E$，避免了繁琐的求根公式。
• 对称替代法：利用 $AF$ 斜率为 $-k$，通过将 $E$ 的坐标表达式中 $k$ 换成 $-k$ 直接写出 $F$ 的坐标，成倍减少运算量。

3. 避坑指南：求点 $y_E$ 的表达式时极易由于通分而出错。计算斜率 $k_{EF}$ 时，分子分母同除以 $k$ 时，需保证 $k\ne 0$（当 $k=0$ 时，直线 $AE,AF$ 重合，不合题意）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的“斜率和为定值/互为相反数”定值问题。本题考查了圆锥曲线关于定点的“对称割线”性质。
2. 结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的定点 $A(x_0,y_0)$，若两动点 $E,F$ 满足 $k_{AE}+k_{AF}=0$，则直线 $EF$ 的斜率为定值 $k_{EF}=\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$。 （验证本题：$k_{EF}=\frac{3\times 1}{4\times 3/2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，完全吻合）。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
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