2009-重庆卷理-04 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、向量的夹角公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=6,\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{a})=2$，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用平面向量数量积的分配律将已知条件展开，转化为关于 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的代数式。

2. 代入已知模长求得 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值。

3. 利用夹角余弦公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 求出余弦值并判定夹角大小。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{a})=2$，由数量积的运算律展开得： $\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{a}{|}^2=2$ 将已知 $|\vec{a}|=1$ 代入上式中，得： $\vec{a}\cdot \vec{b}-1=2⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta (\theta \in [0,\pi ])$，则： $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3}{1\times 6}=\frac{1}{2}$ 因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积分配律 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{a})=\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{a}}^2$；向量自乘与模长的关系 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$；夹角定义式。

2. 核心方法：公式展开法。

3. 避坑指南：注意 $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$，切勿看错符号。同时在求反三角函数值时，注意夹角的定义域范围在 $[0,\pi ]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中平面向量数量积基本应用章节，主要考查向量作为代数工具的逻辑运算能力。

2. 结论推广: 若已知向量满足 $\vec{a}\cdot (m\vec{b}-n\vec{a})=k$，则两向量夹角余弦值可表达为 $\cos \theta =\frac{k+n|\vec{a}{|}^2}{m|\vec{a}||\vec{b}|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心