2009-重庆卷理-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查排列组合与二项式定理的应用、展开式中的特定项，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知 $(x-1{)}^6-(x-1{)}^9=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_9{x}^9$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_9=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察目标求和式 $a_1+a_2+\cdots +a_9$，发现它缺少了常数项 $a_0$。

2. 利用特殊值赋值法：令 $x=1$ 求出常数项 $a_0$ 的值。

3. 再令 $x=1$ 的想法对右边整体求和是不够的（因为 $a_0+a_1+\cdots +a_9$ 对应 $x=1$ 时多项式的值），进一步分析赋值平衡。

4. 或者直接对左侧式子关于 $x$ 的一次项及以上项进行提取：令 $x=1$ 可直接得到 $a_0$；令 $x=1$ 在原恒等式中得 $a_0=0$。再令 $x=1$ 是不对的，应当看清多项式系数全和的赋值是令 $x=1$，此时右边为 $a_0+a_1+\cdots +a_9$。

5. 重新梳理：令 $x=1$ 得右边为 $a_0+a_1+\cdots +a_9$，左边为 $(1-1{)}^6-(1-1{)}^9=0$；令 $x=0$ 得右边为 $a_0$，左边为 $(-1{)}^6-(-1{)}^9=1-(-1)=2$。由此联立求解。

✅【答案】

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$2n+1$

✍【详细解析】

Abstract

解：已知恒等式对任意实数 $x$ 均成立： $(x-1{)}^6-(x-1{)}^9=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_9{x}^9$ ① 令 $x=1$，代入恒等式两边得： $(1-1{)}^6-(1-1{)}^9=a_0+a_1\cdot 1+a_2\cdot 1^2+\cdots +a_9\cdot 1^9$ $0=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_9\text{— (等式1)}$ ② 令 $x=0$，代入恒等式两边以求出常数项 $a_0$： $(0-1{)}^6-(0-1{)}^9=a_0$ $(-1{)}^6-(-1{)}^9=a_0⟹1-(-1)=a_0⟹a_0=2$ 将 $a_0=2$ 代入（等式1）中，得： $2+a_1+a_2+\cdots +a_9=0⟹a_1+a_2+\cdots +a_9=-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式恒等式的特殊值赋值技巧；常数项 $a_0$ 的求法（令自变量为 0）。

2. 核心方法：双特值联立方程法。

3. 避坑指南：容易误认为求各项系数和只需盲目令 $x=1$ 即可，而忽略了题目问的是从 $a_1$ 开始的求和，漏掉减去 $a_0$ 会导致直接写出错误答案 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中二项式定理对多项式系数性质研究的经典变形大题，属于考查“赋值法”解题思维的代表性题型。

2. 结论推广: 对于任意多项式 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$，其各项系数之和 ${\sum }_{i=0}^n{a}_i=f(1)$，常数项 $a_0=f(0)$，则除去常数项后的系数和为 $f(1)-f(0)$。

🔗【关联脉络】

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