2009-陕西卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查纯虚数的概念、复数的代数四则运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 已知 $z$ 是纯虚数，$\frac{z+2}{1-\text{i}}$ 是实数，那么 $z$ 等于 ()

A. $2\text{i}$　　　　　　　B. $\text{i}$　　　　　　　C. $-\text{i}$　　　　　　　D. $-2\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 根据纯虚数的定义设 $z=b\text{i}(b\in \mathbb{R},b\ne 0)$。

2. 将 $z$ 代入分式，通过分母实数化将其化为 $A+B\text{i}$ 的形式，令虚部 $B=0$ 解出 $b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z$ 是纯虚数，设 $z=b\text{i}(b\in \mathbb{R},b\ne 0)$。 则 $\frac{z+2}{1-\text{i}}=\frac{2+b\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{(2+b\text{i})(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\frac{(2-b)+(2+b)\text{i}}{2}=\frac{2-b}{2}+\frac{2+b}{2}\text{i}$。 因为该复数为实数，所以其虚部为 $0$，即 $\frac{2+b}{2}=0⟹b=-2$。 所以 $z=-2\text{i}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数分类（实数、虚数、纯虚数）的形式化定义。

2. 核心方法：复数代数式化简采用分子分母同乘分母的共轭复数。

3. 避坑指南：设纯虚数时必须保证实部为 $0$ 且虚部系数 $b\ne 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 属于考查复数基础运算的常规题型，主要考查学生对虚数单位 $\text{i}$ 的基本运算性质 ${\text{i}}^2=-1$ 的掌握。

2. 结论推广: 若 $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}$ 为实数，则对应向量共线，即 $ad-bc=0$。本题中 $\frac{2+b\text{i}}{1-\text{i}}$ 为实数 $⟹2\times (-1)-b\times 1=0⟹b=-2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算