2009-陕西卷理-21 解-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、焦点在 $y$ 轴上的双曲线渐近线方程。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)如图， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，$A,B$ 两点在双曲线 $C$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，$\lambda \in \left[\frac{1}{3},2\right]$，求 $\Delta AOB$ 面积的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何参数化简：由焦点在 $y$ 轴知渐近线方程为 $y=\pm \frac{a}{b}x$，结合离心率 $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$ 得出 $a,b$ 的比例关系，再利用点到直线距离公式求出 $a$ 与 $b$ 的值。

2. 点坐标转换：设出第一象限点 $A$ 与第二象限点 $B$ 的坐标，利用向量关系 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 写出点 $P$ 的分点坐标公式。

3. 方程联立与求范围：将 $P$ 点坐标代入双曲线方程，化简求出 $x_A{x}_B$ 关于 $\lambda$ 的表达式，带入三角形面积公式转化为对勾函数形式，根据 $\lambda$ 的区间求出面积的取值范围。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由双曲线方程 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 可知，其焦点在 $y$ 轴上，且 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。 因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$， 解得 $a=2b$。 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{a}{b}x=\pm 2x$，即 $2x\mp y=0$。 双曲线的一个上顶点为 $(0,a)$，该顶点到渐近线 $2x-y=0$ 的距离为： $d=\frac{|2\times 0-a|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$ 已知 $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得 $a=2$。 则 $b=1$。 故双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$。

（2）两条渐近线方程分别为 $l_1:y=2x$ 和 $l_2:y=-2x$。 因为 $A,B$ 分别位于第一、二象限， 可设 $A(x_A,2x_A)(x_A>0)$，$B(x_B,-2x_B)(x_B<0)$。 由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 可知，点 $P$ 的坐标满足定比分点公式： $x_P=\frac{x_A+\lambda x_B}{1+\lambda },y_P=\frac{2x_A-2\lambda x_B}{1+\lambda }$ 将 $P(x_P,y_P)$ 代入双曲线方程 $\frac{y^2}{4}-x^2=1$ 中，得： $\frac{1}{4}{\left(\frac{2x_A-2\lambda x_B}{1+\lambda }\right)}^2-{\left(\frac{x_A+\lambda x_B}{1+\lambda }\right)}^2=1$ 展开并化简分子部分： $\frac{(x_A-\lambda x_B{)}^2-(x_A+\lambda x_B{)}^2}{(1+\lambda {)}^2}=1⟹\frac{-4\lambda x_A{x}_B}{(1+\lambda {)}^2}=1$ 由此可得：$x_A{x}_B=-\frac{(1+\lambda {)}^2}{4\lambda }$。

$\Delta AOB$ 的面积根据坐标公式可表示为： $S=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=\frac{1}{2}|x_A(-2x_B)-x_B(2x_A)|=2|x_A{x}_B|$ 因为 $x_A>0,x_B<0$，所以 $x_A{x}_B<0$，则 $|x_A{x}_B|=-x_A{x}_B$。 代入得面积关于 $\lambda$ 的解析式： $S=-2\times \left(-\frac{(1+\lambda {)}^2}{4\lambda }\right)=\frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }=\frac{1+2\lambda +{\lambda }^2}{2\lambda }=1+\frac{1}{2}\left(\lambda +\frac{1}{\lambda }\right)$ 令 $g(\lambda )=\lambda +\frac{1}{\lambda }$，已知 $\lambda \in \left[\frac{1}{3},2\right]$。 根据对勾函数的单调性可知： $g(\lambda )$ 在 $\left[\frac{1}{3},1\right)$ 上单调递减，在 $[1,2]$ 上单调递增。 当 $\lambda =1$ 时，$g(\lambda )$ 取得极小值（亦为最小值）$g(1)=2$； 当 $\lambda =\frac{1}{3}$ 时，$g\left(\frac{1}{3}\right)=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$； 当 $\lambda =2$ 时，$g(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。 因为 $\frac{10}{3}>\frac{5}{2}$，所以 $g(\lambda )$ 在该区间上的最大值为 $\frac{10}{3}$。 即 $2\le g(\lambda )\le \frac{10}{3}$。 从而可得面积 $S$ 的范围为： $1+\frac{1}{2}\times 2\le S\le 1+\frac{1}{2}\times \frac{10}{3}⟹2\le S\le \frac{8}{3}$ 故 $\Delta AOB$ 面积的取值范围为 $\left[2,\frac{8}{3}\right]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点在 $y$ 轴的双曲线渐近线斜率为 $\pm \frac{a}{b}$（易与 $x$ 轴焦点的 $\pm \frac{b}{a}$ 混淆）；平面向量定比分点坐标化。

2. 核心方法：利用代数坐标表示几何面积，再运用“对勾函数”模型实现动态取值范围的锁定。

3. 避坑指南：在求 $g(\lambda )=\lambda +\frac{1}{\lambda }$ 的最大值时，不能只代入区间的右端点 $\lambda =2$，因为对勾函数是非单调区间，必须将左端点 $\frac{1}{3}$ 与右端点 $2$ 的值进行大小比较以决定全局最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题拓展自圆锥曲线的“渐近线三角形面积定值定理”。对于双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 上的任意一点 $P$，过 $P$ 作两条渐近线的平行线或截线构成的三角形，其面积往往与基本量 $ab$ 存在固定的比例关系。

2. 结论推广： 对于双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线上分别取点 $A,B$，若线段 $AB$ 与双曲线相交且满足分点比值 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，则 $△AOB$ 的面积通式恒为： $S=ab\cdot \frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }$ （本题中 $a=2,b=1⟹ab=2$，带入直接可得 $S=2\cdot \frac{(1+\lambda {)}^2}{2\lambda }=\frac{(1+\lambda {)}^2}{\lambda }$。注：由于本题公式中分母为 $2\lambda$，结合 $ab=2$ 相乘刚好约简，结论完全一致）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积