2010-上海卷文-07 填-圆心到直线距离

本题导读

考查圆与直线。圆心 $(1,2)$ 到直线距离 $d=\frac{|3+8+4|}{5}=3$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 圆 $C:x^2+y^2-2x-4y+4=0$ 的圆心到直线 $l:3x+4y+4=0$ 的距离 $d=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 配方：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$，圆心 $(1,2)$。
2. 距离公式：$d=\frac{|3\times 1+4\times 2+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}$。
3. $d=\frac{15}{5}=3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程配方得 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1,$ 圆心为 $(1,2)$。 由点到直线的距离公式： $d=\frac{|3\times 1+4\times 2+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程与点到直线距离

核心方法：配方定圆心，距离公式求 $d$

避坑指南：配方时 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$，圆心是 $(1,2)$ 不是 $(-1,-2)$；距离公式分子要加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的一般方程配方是解析几何的基本功。

结论推广：点 $(x_0,y_0)$ 到 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

方法推广：圆心到直线的距离是判断直线与圆位置关系的钥匙。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程
• 2009-重庆卷文-01 单-圆的方程
• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程